1．在导入新课时设计了两个练习题，尤其是稍放开一点的第2题，如果学生能自觉不自觉地用已学过的很常用而没正式讲过的综合法的思考方法解题，综合法的引入就会很自然，即使学生没有想到，教师引导起来也并不困难。因而顺着学生的思路，帮助学生形成用综合法证明不等式的知识结构。
2．例1与例2的学习使学生理解掌握综合法证明不等式的原理，发现综合法与比较法的内在联系。在教学设计上，力图从学生的需要出发设计问题，帮助学生抓住知识的内在联系，使学到的方法能用、会用。
【作业答案】
思考题：证明：因为a2+b2≥2ab，又因为a，b，c∈R+，所以a2b+b≥2a。同理b2c+c≥2b；c2a+a≥2c.将上述三个不等式相加得a2b+b+b2c+c+c2a+a≥2a+2b=2c。
所以a2b+b2c+c2a≥a+b+c
研究性题：设最后一辆车到达时用的时间为t小时，则
t=［400+36·（v20）2］÷v=400v+36v400≥2400v·36v400=12
所以最短时间为12小时。
第四课时
教学目标
1．掌握分析法证明不等式；
2．理解分析法实质——执果索因；
3．提高证明不等式证法灵活性。
教学重点：分析法
教学难点：分析法实质的理解
教学方法：启发引导式
教学活动
一、导入新课
（教师活动）教师提出问题，待学生回答和思考后点评。
（学生活动）回答和思考教师提出的问题。
问题1：我们已经学习了哪几种不等式的证明方法？什么是比较法？什么是综合法？
问题2：能否用比较法或综合法证明不等式：3+7＜25。
点评：在证明不等式时，若用比较法或综合法难以下手时，可采用另一种证明方法：分析法。（板书课题）
设计意图：复习已学证明不等式的方法。指出用比较法和综合法证明不等式的不足之处，
激发学生学习新的证明不等式知识的积极性，导入本节课学习内容：用分析法证明不等式。
二、新课讲授
1.尝试探索、建立新知
（教师活动）教师讲解综合法证明不等式的逻辑关系，然后提出问题供学生研究，并点评。帮助学生建立分析法证明不等式的知识体系。投影分析法证明不等式的概念。
（学生活动）与教师一道分析综合法的逻辑关系，在教师启发、引导下尝试探索，构建新知。
讲解：综合法证明不等式的逻辑关系如下，以已知条件中的不等式或基本不等式作为结论，逐步寻找它成立的必要条件，直到必要条件就是要证明的不等式。
问题1：我们能不能用同样的思考问题的方式，把要证明的不等式作为结论，逐步去寻找它成立的充分条件呢？
问题2：当我们寻找的充分条件已经是成立的不等式时，说明了什么呢？
问题3：说明要证明的不等式成立的理由是什么呢？
点评：从要证明的结论入手，逆求使它成立的充分条件，直到充分条件显然成立为止，从而得出要证明的结论成立。就是分析法的逻辑关系。
投影：分析法证明不等式的概念。（见课本）
设计意图：对比综合法的逻辑关系，教师层层设置问题，激发学生积极思考、研究。建立新的知识；分析法证明不等式。培养学习创新意识。
2.例题示范、学会应用
（教师活动）教师板书或投影例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会用分析法证明不等式，并点评用分析法证明不等式必须注意的问题。
（学生活动）学生在教师引导下，研究问题，与教师一道完成问题的论证。
例1求证3+7＜25。
分析：此题用比较法和综合法都很难入手，应考虑用分析法。
证明：（见课本）
点评：证明某些含有根式的不等式时，用综合法比较困难。此例中，我们很难想到从“21＜25”入手，因此，在不等式的证明中，分析法占有重要的位置，我们常用分析法探索证明途径，然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要思维方法，事实上，有些综合法的表述正是建立在分析法思索的基础上，分析法的优越性正体现在此。
例2已知：0＜a＜b，求证：ab＜a+1b+1（用分析法）请思考下列证法有没有错误？若有错误，错在何处？
投影：证法一：因为b＞0，所以b+1＞0、去分母，化为a(b+1)＜b(a+1)，就是a＜b。由已知a＜b成立，所以求证的不等式成立。
证法二：欲证ab＜a+1b+1，因为a＞0，b+1＞0
只需证a(b+1)＜b(a+1)，
即证ab+a＜ab+b，
即证a＜b。
因为a＜b成立，所以ab＜a+1b+1成立。
（证法二正确，证法一错误。错误的原因是：虽然是从结论出发，但不是逐步逆战结论成立的充分条件，事实上找到明显成立的不等式是结论的必要条件，所以不符合分析法的逻辑原理，犯了逻辑上的错误。）
点评：①用分析法证明不等式的逻辑关系是：
B.B1.B2….Br.A
（结论）（步步寻找不等式成立的充分条件）（结论）
分析法是“执果索因”，它与综合法的证明过程（由因导果）恰恰相反。②用分析法证明时要注意书写格式。分析法论证“若A则B”这个命题的书写格式是：
要证命题B为真，
只需证明B1为真，从而有……
这只需证明B2为真，从而又有……
……
这只需证明A为真。
而已知A为真，故命题B必为真。
要理解上述格式中蕴含的逻辑关系。
投影：例3证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面（指横截面，下同）的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大。
分析：设未知数，列方程，因为当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的大小，设截面的周长为l，则周长为l的圆的半径为l2π，截面积为π（l2π）2；周长为l的正方形边长为l4，截面积为（l4）2，所以本题只需证明：π（l2π2＞（l4）2
证明：（见课本）
设计意图：理解分析法与综合法的内在联系，说明分析法在证明不等式中的重要地位。掌
握分析法证明不等式，特别重视分析法证题格式及格式中蕴含的逻辑关系。灵活掌握分析法的应用，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力。
3.课堂练习
（教师活动）打出字幕（练习），请甲、乙两位同学板演，巡视学生的解题情况，对正确的证法给予肯定，对偏差及时纠正。点评练习中存在的问题。
（学生活动）在笔记本上完成练习，甲、乙两位同学板演。
字幕：练习1：求证（ac+bd）2≤(a2+b2)(c2+d2)
练习2：求证：-1≤a2-1a2+1＜1。
设计意图：掌握用分析法证明不等式，反馈课堂效果，调节课堂教学。
4.分析归纳、小结解法
（教师活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小给用分析法证明不等式的解题方法。
（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录笔记。
①分析法是证明不等式的一种常用基本方法。当证题不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效的。
②用分析法证明不等式时，要正确运用不等式的性质逆找充分条件，注意分析法的证题格式。
设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握分析法证明不等式的方法。
三、小结
（教师活动）教师小结本节课所学的知识。
（学生活动）与教师一道小结，并记录笔记。
本节课主要学习了用分析法证明不等式。应用分析法证明不等式时，掌握一些常用技巧：
通分、约分、多项式乘法、因式分解、去分母，两边乘方、开方等。在使用这些技巧变形时，要注意遵循不等式的性质。另外还要适当掌握指数、对数的性质、三角公式在逆推中的灵活运用。理解分析法和综合法是对立统一的两个方面。有时可以用分析法思索，而用综合法书写证明，或者分析法、综合法相结合，共同完成证明过程。
设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识。
四、布置作业
1．课本作业：P17 4、5。
2．思考题：若a＞1，求证a3＞a+1a-2
3．研究性题：已知函数f(x)=tanx，x∈(0，π2，若x1、x2 x2∈(0，π2，且x1≠x2证明12［f(x1)+f(x2)］＞f(x1+x22)
设计意图：思考题供学有余力同学练习，研究性题供学生研究分析法证明有关问题。
五、课后点评
教学过程是不断发现问题、解决问题的思维过程。本节课在形成分析法证明不等式认知结构中，教师提出问题或引导学生发现问题，然后开拓学生思路，启迪学生智慧，求得问题解决。一个问题解决后，及时地提出新问题，提高学生的思维层次，逐步由特殊到一般，由具体到抽象，由表面到本质，把学生的思维步步引向深入，直到完成本节课的教学任务。总之，本节课的教学安排是让学生的思维由问题开始，到问题深化，始终处于积极主动状态。
本节课练中有讲，讲中有练，讲练结合。在讲与练的互相作用下，使学生的思维逐步深化。教师提出的问题和例题，先由学生自己研究，然后教师分析与概括。在教师讲解中，又不断让学生练习，力求在练习中加深理解，尽量改变课堂上教师包括办代替的做法。
在安排本节课教学内容时，按认识规律，由浅入深，由易及难，逐渐展开教学内容，让学生形成有序的知识结构。
【作业答案】
思考题：a3＞a+1a-2.a3＞a2-2a+1a.a4＞(a-1)2.a2＞a-1.a2-a+1＞0。因为Δ=(-1)2-4×1×1=-3＜0，故a2-a+1＞0，所以a3＞a+1a-2成立。
研究性题：令tanx12=t，tanx22=t`2，则：
12(tanx1+tanx2)=(t1+t2)(1-t1t2)(1-t21)(1-t12)，tan x1+x22=t1+t21-t1t2
故原不等式等价于
(t1+t2)(1-t1t2)(1-t21)(1-t22)=t1+t21-t1t2
由已知有0＜t1＜1。0＜t2＜1。所以上式等价于(1-t21)(1-t22)，即1-2t1t2+t21t22＞1-t21-t22+t21t22。所以又等价于(t1-t2)2＞0。因为t1≠t2，上式成立，所以原不等式成立。
一、选择题
1．设a，b，m都是正数，且a＜b，则下列各不等式中恒不成立的是（）
A．ab＜a+mb+m＜1B．ab≥a+mb+m
C．ab≤a+mb+m≤1D．1＜b+ma+m＜ba
答案：B
2．若a＞b＞1，P=lga·lgb，Q=12(lga+lgb)，R=lg(a+b2)，则
()
A．R＜P＜QB．P＜Q＜R
C．Q＜P＜RD．P＜R＜Q
答案：B（提示：∵a+b2＞ab，∴lg(a+b2)≥lgab=12(lga+lgb)又12(lga+lgb)≥lga·lgb，∴选B）
3．若x＞0，y＞0且x+y≤4，则下列不等式恒成立的是（）
A．1x+y≤14B．1x+1y≥1
C．xy≥2D．1xy≥1
答案：B（提示：x＜0时，B不成立）
二、填空题
1．若a=2-5，b=5-2，c=5-25，写出a，b，c的大小关系。
答案：1．a＜b＜c（提示：a＜0，b＞0又c-b=7-35，
∵72=49，（35）2=45，∴c-b＞0，c-b＞0 ab＜c.
2．若正数a，b满足ab-a+b+3，则ab的取值范围是。
答案：2．［9，+∞］（提示：∵a+b≥2ab，∴ab≥2ab+3，即ab-2ab-3≥0，∴(ab-3)(ab+1)≥0，∵ab＞0，∴ab≥3，∴ab≥9，∴ab∈［9，+∞］.
三、解答题
1．用比较法证明
（1）若a，b，c为不全相等的正数，求证：
2(a3+b3+c3)＞a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b)；
（2）sin2α+sin2β+1＞sinα·cosα+sinα+sinβ；
（3）若a＞b＞0，求证：aa·bb＞(ab)a+b2
答案：
1．（1）左－右=［（a3+b3)-(a2b+ab2］+［(a3+c3)-(a2c+ac2)］+［(b3+c3)-(b2c+bc2）］=（a+b)(a-b)2+(a+c)(a-c)2+(b+c)(b-c)2＞0
（∵a，b，c＞0且不全相等，故上式中总有一项非零）
（2）sin2α+sin2β+1-sinα·cosα-sinα-sinβ=(sinα-12)2+(sinβ-12)2+12-sinα·cosα
=(sinα-12)2+(sinβ-12)2+12(1-sin2α)＞0
（∵sinα=12与sin2α=1不能同时成立）
（3）∵aabb(ab)a-b2=aa-b2·bb-a2=(ab)a-b2，∵a＞b＞0，
∴a-b＞0，ab＞1，∴(aba-b2＞1，∴aabb＞（ab)a+b2
2．用综合法证明：
若a，b，c∈R+，求证：a2b2+b2c2+c2a2a+b+c≥abc。
答案：
∵b2c2+c2a2≥2abc2，c2a2+a2b2≥2bca2，a2b2+b2c2≥2acb2，
三式相加得a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c)＞0
∵a，b，c∈R+，∴a+b+c＞0，即1 a+b+c＞0，
∴b2c2+c2a2+a2b2a+b+c≥abc。
3．用分析法证明：
（1）若x，y∈R+，求证：(x2+y2)12＞(x3+y3)13；
（2）已知a＞b＞0，求证：(a-b)28a＜a+b2-ab＜(a-b)28b
（3）若0＜x＜1y，求证：y-y2＜1x+1；
（4）33+33+33-33＜2·33。
答案：
（1）由x＞0，y＞0，故只需证明［(x2+y2)12］6＞［(x3+y3)13］6即(x2+y2)3＞(x3+y3)2，展开得x6+3x4y2+3x2y4+yy6＞x6+2x3y3+y6，即只需证x2y2(3x2+3y2-2xy)＞0，即x2y2［2x2+2y2+(x-y)2］＞0，最后不等式显然成立，故原不等式成立。
（2）欲证(a-b)28a＜a+b2-ab＜(a-b)28b
.(a-b)24a＜(a-b)2＜(a-b)24b
.a-b2a＜a-b＜a-b2b（∵a＞b＞0）
.a+b2a＜1＜a+b2b
.1+ab＜2＜1+ab.ba＜1＜ab
由于a＞b＞0，故最后的不等式成立，因而原不等式成立。
（3）∵0＜x＜1y，欲证y-y2＜1x+1.y-y2＜11y+1
.1-y＜1y+1.1-y2＜1.y2＞0
显然成立，故原不等式成立。
（4）注意到（33+33）3+（33+33）3=6
设（33+33）3=a，（33+33）3=b
则欲证a+b＜233.（a+b）3＜24
.6+3ab(a+b)＜24.ab(a+b)＜6
.ab(a+b)＜a3+b3.a3+b3-ab(a+b)＞0
.(a-b)2(a+b)＞0显然成立，故原不等式成立。
