【教学目标】
一、能熟练运用不等式的基本性质来解不等式；
二、在巩固一元一次不等式和一元一次不等式组、一元二次不等式的解法基础上，掌握分式不等式、高次不等式的解法；
三、能将较复杂的绝对值不等式转化为简单的绝对值不等式、一元二次不等式（组）来解；
四、通过解不等式，要向学生渗透转化、数形结合、换元、分类讨论等数学思想；
五、通过解各种类型的不等式，培养学生的观察、比较及概括能力，培养学生的勇于探索、敢于创新的精神，培养学生的学习兴趣。
【教学建议】
一、知识结构
本节内容是在高一研究了一元一次不等式，一元二次不等式，简单的绝对值不等式及分式不等式的解法基础上，进一步深入研究较为复杂的绝对值不等式及分式不等式的解法.求解的基本思路是运用不等式的性质和有关定理、法则，将这些不等式等价转化为一次不等式（组）或二次不等式的求解，具体地说就是含有绝对值符号的不等式去掉绝对值符号，无理不等式有理化，分式不等式整式化，高次不等式一次化.其基本模式为：
f(x)|＞af(x)＜-a，或f(x)＞a(a＞0)；
f(x)|＜a(a＞0)-a＜f(x)＜a；
f(x)g(x)＞0f(x)·g(x)＞0；
f(x)g(x)≥0f(x)g(x)≥0g(x)≠0。
二、重点、难点分析
本节的重点和一个难点是不等式的等价转化.解不等式与解方程有类似之处，但其二者的区别更要加以重视.解方程所产生的增根是可以通过检验加以排除的，由于不等式的解集一般都是无限集，如果产生了增根却是无法检验加以排除的，所以解不等式的过程一定要保证同解，所涉及的变换一定是等价变换.在学生学习过程中另一个难点是不等式-a＜f(x)＜a的求解.这个不等式其实是一个不等式组的简化形式，当f(x)为一元一次式时，可直接解这个不等式组，但当f(x)为一元二次式时，就必须将其改写成两个一元二次不等式的形式，分别求解在求交集。
三、教法建议
(1)在学习新课之前一定要复习旧知识，包括一元二次不等式的解法，简单的绝对值不等式的解法，简单的分式不等式的解法，不等式的性质，实数运算的符号法则等.特别是对于基础比较差的学生，这一环节不可忽视。
(2)在研究不等式|ax2+bx+c|＞d(＜d)(d≠0)的解法之前，应先复习解不等式组的基本思路以及不等式|x|＞d(＜d)的解法，然后提出如何求不等式|ax2+bx+c|＞d(＜d)(d≠0)的解集，启发学生运用换元思想将x替换成ax2+bx+c，从而转化一元二次不等式组的求解。
(3)在教学中一定让学生充分讨论，明确不等式组“f(x)＞a或f(x)＜-a”中的两个不等式的解集间的交并关系，“-a＜f(x)＜a”两个不等式的解集间的交并关系。
(4)建议表述解不等式的过程中运用符号“”。
(5)建议在研究分式不等式的解法之前，先研究简单高次不等式(一端为0，另一端是若干个一次因式乘积形式的整式)的解法.可由学生讨论不同解法，师生共同比较诸法的优劣，最后落实到区间法。
(6)分式不等式f(x)g(x)＞0与高次不等式f(x)·g(x)＞0的等价原因，可以认为是不等式f(x)g(x)＞0两端同乘以正数g(x)2，不等号不改变方向所得；也可以认为是f(x)与g(x)符号相同所得。
(7)分式不等式求解时不能盲目地去分母，但当分母恒为正数(如分母是x2+x+1)时，应将其去掉，从而使不等式简化。
(8)建议补充简单的无理不等式f(x)＜g(x)，f(x)＞g(x)的解法，其中g(x)为一次式.教学中先由学生研究探索得到求解的基本思路及方法，再由教师概括总结，得出结论后一定要强调不等号的方向对g(x)的影响，即f(x)＜g(x)保证了g(x)≥0，而f(x)＞g(x)却不能保证这一点，所以要分g(x)≥0和g(x)＜0两种情况进行讨论。
(9)求解不等式不仅要重视思路的理解，更要重视表述的规范，作为教师应给学生做出示范，学生通过模仿掌握书写格式，这样才有可能保证运算的合理性与结果的准确性。
【教学设计示例】
分式不等式的解法
教学目标
1．掌握分式不等式向整式不等式的转化；
2．进一步熟悉并掌握数轴标根法；
3．掌握分式不等式基本解法。
教学重点难点
重点是分式不等式解法
难点是分式不等式向整式不等式的转化
教学方法
启发式和引导式
教具准备
三角板、幻灯片
教学过程
一、复习回顾
前面，我们学习了含有绝对值的不等式的基本解法，还了解了数轴标根法的解题思路，本节课，我们将继续研究分式不等式的解法。
二、讲授新课
例3解不等式x2-3x+2x2-2x-3＜0。
分析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于x的二次三项式的商，根据商的符号法则，它可以化成两个不等式组：
x2-3x+2＞0x2-3x-3＜0或x2-3x+2＜0
x2-2x-3＞0
因此，原不等式的解集就是上面两个不等式组的解集的并集，此种解法从课本可以看到。
另解：根据积的符号法则，可以将原不等式等价变形为（x2－3x＋2）(x2－2x－3)＜0
即（x＋1）(x－1)(x－2)(x－3)＜0
令（x＋1）(x－1)(x－2)(x－3)=0
可得零点x=－1或1，或2或3，将数轴分成五部分。
由数轴标根法可得所求不等式解集为：
{x|－1＜x＜1或2＜x＜3}
说明：（1）让学生注意数轴标根法适用条件；
（2）让学生思考x2-3x+2x2-3x-3≤0的等价变形。
例4解不等式2x2-5x-1x2-3x+2＞1
分析：首先转化成右端为0的分式不等式，然后再等价变形为整式不等式求解。
解：原不等式等价变形为：
2x2-5x-1x2-3x+2－1＞0
通分整理得：x2-2x-3x2-3x+2＞0
等价变形为：（x2－2x＋3）(x2－3x＋2)＞0
即：（x＋1）(x－1)(x－2)(x－3)＞0
由数轴标根法可得所求不等式解集为：
{x|x＜－1或1＜x＜2或x＞3}
说明：此题要求学生掌握较为一般的分式不等式的转化与求解。
三、课堂练习
课本P19练习1。
补充：（1）x2-3x+2x2-7x+12≥0；
（2）x(x－3)(x＋1)(x－2)≤0。
课堂小结
通过本节学习，要求大家在进一步掌握数轴标根法的基础上，掌握分式不等式的基本解法，即转化为整式不等式求解。
课后作业
习题6.43，4.
板书设计
§6.4.2…
…
例3……例4……学生练习1学生练习2
分析分析…………
解答解答……学生练习3
说明说明…………
【习题精选】
一、选择题
1．下列各对不等式中同解的是（）。
A．2x＜7与2x+x＜7+x
B．(x+1)2＞0与x+1＞0
C．|x-3|＞1与x-3＞1
D．(x+1)3＞x3与1x+1＜1x
2．下列不等式中：
①x2+3x-2＞0和x2+3x-4＞0
②4x+5x+3＞8+5x+3和4x＞8
③4x+5x-3＞8+5x-3和4x＞8
④x+32-x＞0和（x+3）（2-x）＞0
不等价的是（）。
A．②B．③C．②和③D．②、③和④
3．若不等式f(x)≥0的解集是F，不等式g(x)＜0的解集是G，则不等式组f(x)＜0g(x)≥0的解集是（）。
A．CuF∩CuG B．CuF∪CuG
C．F∪G D．Cu（F∪G）
4．若方程x2+(m+2)x+m+5=0只有正根，则m的取值范围是（）。
A．m≤-4或m≥4 B．-5＜m≤-4
C．-5≤m≤-4D．-5＜m＜-2
答案：1．D 2．B 3．A 4．B
二、填空题
１．不等式(x-3)(10-x)x2(x-1)≥0的解集是.
２．若a＞c且b+c＞0，则不等式(x-c)(x+b)x-a＞0的解集为.
３．不等式|x1+x|＞x1+x的解集是.
答案：
１．{x|x＜1且x≠0或3≤x≤10}。
２．{x|-b＜x＜c或x＞a}。
３．{x|-1＜x＜0}
三、解答题
１．解不等式|x2+2x-1|≥2.
２．解不等式9x-5x2-5x+6≥-2.
３．解不等式x(x-1)3(x+2)x2-3x+2＜0。
答案：
１．原方程等价于x2+2x-1≤-2或x2+2x-1≥2，故解集为{x|x≤-3或x=-1或x≥1}；
２．原方程等价于2x2-x+7x2-5x+6≥0，因为2x2-x+7＞0，所以x2-5x+6＞0，得解集{x|x＜2或x＞3}；
３．原方程等价于x(x+2)(x-2)＜0且x≠1，所以解集为{x|x＜-2或0＜x＜2且x≠1。
【典型例题】
例1解不等式：（1）2x3-x2-15x＞0；
（2）(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0。
分析如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况。
解（1）原不等式可化为
x(2x+5)(x-3)＞0
把方程x(2x+5)(x-3)=0的三个根x1=0，x2=-52，x3=3顺次标上数轴。然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分。
∴原不等式解集为{x|-52＜x＜0或x＞3}
（2）原不等式等价于
（x+4)(x+5)2(x-2)3＞0
x+5≠0(x+4)(x-2)＞0x≠-5x＜4或x＞2
∴原不等式解集为{x|x＜-5或-5＜x＜-4或x＞2}
说明用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图。
例2解下列分式不等式：
（1）3x-2≤1-2x+2；（2）x2-4x+13x2-7x+2＜1
分析当分式不等式化为f(x)g(x)＜0(或≤0）时，要注意它的等价变形
①f(x)g(x)＜0f(x)·g(x)＜0
②f(x)g(x)≤0f(x)·g(x)≤0g(x)≠0或f(x)g(x)≤0f(x)=0或f(x)·g(x)＜0
（1）解原不等式等价于
3x-2≤xx+23x-2-xx+2≤0
3（x+2)-x(x-2)(x-2)(x+2)≤0-x2+5x+6(x-2)(x+2)≤0
(x-6)(x+1)(x-2)(x+2)≥0(x-6)(x+1)(x-2)(x+2)≥0(x+2)(x-2)≠0
用“穿根法”
∴原不等式解集为(-∞，-2）∪［-1，2］∪［6，+∞］。
（2）解法一原不等式等价于2x2-3x+13x2-7x+2＞0
(2x2-3x+1)(3x2-7x+2)＞0
2x2-3x+1＞03x2-7x+2＞0或2x2-3x+1＜03x2-7x+2＜0
x＜13或12＜x＜1或x＞2
∴原不等式解集为(-∞，13）∪［12，1］∪［2，+∞］。
解法二原不等式等价于(2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2)＞0
(2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2)＞0
用“穿根法”
∴原不等式解集为(-∞，13）∪［12，1］∩［2，+∞］
例3解不等式|x2-4|＜x+2
分析解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义|a|=a(a≥0)-a(a＜0)
二是根据绝对值的性质：|x|＜a-a＜x＜a，|x|ax＞a或x＜-a，因此本题有如下两种解法。
解法一原不等式x2-4≥0x2-4＜x+2或x2-4＜0
4-x2＜x+2
即x≥2或x≤-2
-2＜x＜x或-2＜x＜2
x＜-2或x＞1
∴2≤x＜3或1＜x＜2
故原不等式的解集为{x|1＜x＜3}。
解法二原不等式等价于-(x+2)＜x2-4＜x+2
即x2-4＜x+2x2-4＞（x+2）∴-2＜x＜3x＞1或x＜-2故1＜x＜3
