解建立如图410所示的坐标系。由于不计各杆自身的重量，所以各杆都是二力杆。由空间力系的平衡方程，得。
解得。
FB与FC是负值，说明力的实际方向与假定方向相反，即实际都是压力。
例4.6如图411所示的三轮小车，自重为8000N，作用于E点。载荷FG1=10000N，作用于C点。求小车静止时地面对小车车轮的反力。
解以小车为研究对象，其受力如图411所示。其中，小车的自重力FG和载荷FG1为主动力，这两个力与FA、FB、FD相互平行，组成空间平行力系。
取如图411所示的坐标系，列方程如下：
解得。
例4.7在图412中，皮带的拉力F2=2F1，曲柄上作用有铅垂力F=2kN。已知皮带轮的直径D=400mm，曲柄长R=300mm，皮带1和皮带2与铅垂线间的夹角分别为=30°，β=60°，其他尺寸如图412所示。求皮带轮的拉力和轴承反力。
解以整个轴为研究对象。
在轴上作用的力有皮带拉力F1、F2，作用在曲柄上的力F，轴承反力FAx、FAz、FBx和FBz。轴承受空间任意力系作用，选取如图412所示的坐标轴，其平衡方程为。
考虑到F2=2F1，解方程(417)，得F1=3000N，F2=6000N，FAx=-1004N，FBx=3348N，FAz=9397N，FBz=-1799N。
总之，在应用空间力系平衡方程解决具体问题时，为取得最快速度和最佳答案，需要遵循以下步骤。
(1)选取研究对象。
(2)对所选取的研究对象进行受力分析。在对选取的刚体进行受力分析时，要注意先从关键点开始，全面地分析，不能漏掉，也不能凭空多出。否则，这对解题是不利的，甚至影响到结果的正误。
(3)在正确进行受力分析后，要结合题意选取合理的坐标轴。坐标轴的选取十分关键，一方面它能为解题提供方便；另一方面，它能为计算提供方便。
(4)正确列方程。列方程的目的是求出未知量，其中，方程的个数是关键，方程的个数必须和未知量相对应，不能少也不能多，并注意利用给定的条件。
(5)解方程。解方程时，要注意各量的单位要一致，并注意正负号。
(6)对结论做出必要的说明或解释。
4.5重心的确定
4.5.1重心的概念及计算公式
我们知道地球附近的物体都受到地球对它的作用力，即物体的重力；重力作用于物体内每一微小部分，它是一个分布力系。对于工程中的一般物体，可将这种分布的重力足够精确地视为空间平行力系，一般所谓的重力就是这个空间平行力系的合力。在地球表面上的刚体(不变的物体)，无论怎样放置，其平等分布重力的合力作用线，都通过此物体(或刚体)上一个确定的点，这个点就是常说的重心。
重心在工程上具有重要的意义，尤其是对学习机械、机电等专业的学生来说，掌握刚体或物体重心的确定方法，对于加工和制造产品会起到重要的作用。
如果将物体分割成许多微小的物块，称之为微块，则每个微块将受到微重力的作用，设此力为FGi，其作用点为(xi，yi，zi)。由于地球远比所研究的物体大，因而可以认为这些微重力构成一个平行力系。这个平行力系的合力即是物体的重力，此平行力系的中心就是物体的重心。
在公式(418)中，物体被分割得越多，即每一小块的体积越小，则计算出的重心位置越准确。一般利用极限的方法来确定物体(或刚体)的重心。
如果物体(或刚体)是均匀的，单位体积的重力是个常数，则式(418)变为根据高等数学知识，式(419)的极限为式(420)称为体积重心公式。
如果用面积计算，则公式(420)变为式(421)称为面积重心公式。
如果物体是均质等截面的细长线段，则公式(421)变为式(422)称为线段重心公式。
4.5.2确定物体(或刚体)重心的方法
根据物体(或刚体)的性质和自身特点，在日常生产、生活和实践中确定物体(或刚体)重心的方法，一般有两种。
(1)利用形体对称确定重心。
(2)利用组合法确定重心。包括：①分割法；②负体积或面积法；③实验测定法。在实验法中常用悬挂法、称重法等。
例4.8如图414所示试求半径为R、圆心角为2的扇形图形的重心。
解取中心角的平分线为y轴。由于该图形具有对称性，则重心必在这个轴上，即xC=0，只要求出yC即可。
如图414所示，将扇形分割成若干个小的三角形。由于每个小的三角形的重心都在距顶点R处，则任一位置处的微小面积dS=12R2d，其重心的坐标yC.
4.6小结
(1)力在空间直角坐标轴上的投影。
直接投影公式：
(2)空间汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力为0，即要使合力为0，则必须满足.
(3)力矩包括力对点的矩和力对轴的矩。
力对点的矩矢等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。其大小用公式表示为Mz(F)=±Fh。
力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效应的量度。其代数量的大小等于此力在垂直于该轴的平面上的投影对于这个平面和轴的交点的矩，用公式表示为Mz(F)=Mz(Fxy)=MO(Fxy)=±Fxyh。
公式中的正负号表示力对轴的矩的转向。通常规定：从轴的正向看去，逆时针转动的力矩为正，顺时针转动的力矩为负。
(4)空间力系的平衡条件为。
空间力系平衡的必要和充分条件是：力系中各力在直角坐标系的每一个轴上的投影代数和分别为0；各力对3个坐标轴的矩的代数和也分别等于0。
(5)空间力系平衡方程的应用。
在应用空间力系平衡方程解决具体问题时，为取得最快速度和正确答案，需要遵循以下步骤。
①选取研究对象。
②对所选取的研究对象进行受力分析。在对选取的刚体进行受力分析时，要注意先从关键点开始，全面地分析，不能漏掉，也不能凭空多出。否则，这对解题是不利的，甚至影响到结果的正误。
③在正确进行受力分析后，要结合题意选取合理的坐标轴。坐标轴的选取十分关键，一方面它能为解题提供方便；另一方面，它能为计算提供方便。
④正确列方程。列方程的目的是求出未知量，其中，方程的个数是关键，方程的个数必须和未知量相对应，不能少也不能多，并注意利用给定的条件。
⑤解方程。解方程时，要注意各量的单位要一致，并注意正负号。
⑥对结论做出必要的说明或解释。
(6)物体(或刚体)重心的确定。
计算一般物体(或刚体)重心的公式为式(418)。如果物体(或刚体)是均匀的，单位体积的重力是个常数，则重心计算公式为式(419)，其积分表达式为式(420)。式(418)~(420)称为体积重心公式。
如果用面积计算重心，则有计算公式(421)，称为面积重心公式。
如果物体是均质等截面的细长线段，则有计算公式(422)，称为线段重心公式。
根据物体(或刚体)的性质和自身特点，在日常生产、生活和实践中确定物体(或刚体)重心的方法一般有两种。
①利用形体对称确定重心。
②利用组合法确定重心。包括分割法、负体积或面积法、实验测定法。在实验法中常用悬挂法、称重法等。
思考与习题
41空间平行力系简化的结果是什么？
42当物体的质量分布不均匀时，重心和几何中心还重合吗？
43空间任意力系总可以用两个力来平衡，为什么？
44某一空间力系对不共线的3个点的主矩都等于0，此力系是否一定平衡？
45如何计算力对轴的矩？怎样确定其正负？在什么情况下力对轴的矩为0？
46解空间任意力系平衡方程时，为了解题方便和简单，应在列平衡方程时注意什么？
47如图415所示，在长方形顶点A和B处分别作用有F和F1，其中F=500N，F1=700N。求二力在x、y、z轴上的投影。
48绞车如图416所示，力FG=500N。
求FG在图示3个坐标轴上的投影和它对3个坐标轴的矩。
49图417所示为一挂物架。3个杆重量不计，用铰链连接于O点，BOC平面处于水平状态，且BO=OC，若在O点挂一重力FG=1000N的重物，试求3个杆所受的力。
410图418所示为小型起重机，机身所受重力为12.5kN，作用于C点。试求起吊FG1=5kN物体时地面对车轮作用的反力。
411重物M放在光滑的斜面上，用沿斜面的绳AM与BM拉住，如图419所示。已知物重1000N，斜面的倾角为=60°，绳与铅垂面的夹角分别为β=30°，γ=60°。
如物体尺寸忽略不计，求重物对斜面的压力和两绳的拉力。
412求如图420所示的平面图形的形心。已知R=10cm，r1=3cm，r2=1.3cm。
413如图421所示，6根杆支撑一水平钢板，在板角处受一铅直力F的作用。
设板和杆的自重不计，求各杆所受的内力。
