由此可知，力F沿平面坐标轴分解的表达式为F=Fx+Fy=Fxi+Fyj，式中，i、j为沿坐标轴x和y正向的单位矢量。
2.3平面汇交力系合成与平衡法——解析法平面汇交力系合成与平衡法——解析法，是通过力矢在坐标轴上的投影来分析力系的合成及其平衡条件，主要内容有以下两个方面。
2.3.1力在正交坐标轴系的投影与力的解析表达式
如图27所示，已知力F与平面内正交轴x、y的夹角为、β，则力F在x、y轴上的投影分别为即力在某轴的投影，等于力的模乘以力与投影轴正向夹角的余弦。力在轴上的投影为代数量，当力与轴夹角为锐角时，其值为正；当夹角为钝角时，其值为负。
由图27(a)可知，力F沿正交轴Ox、Oy可分解为两个分力Fx和Fy时，其分力与力的投影之间的关系为式中，i、j为沿坐标轴x和y正向的单位矢量。
显然，有。
必须注意，力在轴上的投影Fx、Fy为代数量，而力沿轴的分量不垂直时，力沿两轴的分力在数值上不等于力在两轴上的投影，参考图27(b)。
2.3.2平面汇交力系合成的解析法
求平面汇交力系合成的解析法，就是用力在直角坐标上的投影，计算其合力的大小，确定合力的方向。
设由n个力组成的平面汇交力系作用于一个刚体上，以汇交点O作为坐标原点，建立直角坐标系xOy，如图28所示。
根据公式(21)得此汇交力系的合力FR的解析表达式为式中，FRx、FRy为合力FR在x轴和y轴上的投影。
根据合矢量投影定理知，合矢量在某一轴上的投影等于各分矢量在同一轴上投影的代数和，由此可得式中，Fx1和Fy1，Fx2和Fy2，…，Fxn和Fyn分别为力在x轴和y轴上的投影。
2.3.3平面汇交力系的平衡条件通过学习我们知道，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：力系的合力等于0。由前面导出的公式可得。
由此可知，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是力系中所有力在任选两个坐标轴上投影的代数和均为0。
对于由n个力构成的平面汇交力系，则有。
欲满足式(22)，则同样有。
因此，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于0。
2.4平面汇交力系合成与平衡法的应用
平面汇交力系合成与平衡法的应用是求解静力学平衡问题中的重要内容之一。求解静力学平衡问题的一般方法和步骤如下。
(1)选择研究对象。
选择时应注意：①所选择的研究对象应作用有已知力(或已经求出的力)和未知力，这样才能应用平衡条件由已知力求得未知力；②先以受力简单并能由已知力求得未知力的物体作为研究对象，然后再以受力较为复杂的物体作为研究对象。
(2)取隔离体，画受力图。
研究对象确定之后，进而需要分析受力情况，因此需将研究对象从其周围物体中隔离出来。根据所受的外载荷画出隔离体所受的主动力；根据约束性质，画出隔离体所受的约束反力，最后得到研究对象的受力图。
(3)根据平衡条件建立平衡方程，并由此画出全部未知力。
建立平衡方程时，应先选取合适的坐标。当约束反力的指向预先不能判断时，可以假设一方向，若计算结果为正值，说明约束反力的实际方向与所设方向是一致的；反之，与实际方向相反。
(4)求解方程。
对依据平衡条件建立的平衡方程，利用数学等有关知识进行求解，并对结果做出科学分析。
例2.3在刚体的A点作用有4个汇交力，如图29所示。其中，F1=2kN，F2=3kN，F3=1kN，F4=2.5kN，方向如图29所示。用解析法求其合力的大小和方向。
由此得到的力的方向，如图29(b)所示。
由例2.3可知，要用解析法求力的大小和方向，须按以下步骤进行：
(1)确定受力物体，并对受力物体进行受力分析；(2)建立适合物体受力状态或习惯的坐标系；(3)应用公式求出力的大小和方向。
例2.4如图210所示，重物FG为20kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮B上，钢丝绳的另一端缠绕在绞车D上。杆AB与BC铰接，并以铰接A、C与墙连接。如不计杆和滑轮的重量，并忽略摩擦和滑轮的大小，试求杆AB和BC所受的力。
解(1)确定研究对象。由于AB、BC两杆都是二力杆，假设杆AB受拉力、杆BC受压力，如图210(b)所示。为了求出这两个未知力，可通过求两杆对滑轮的约束反力来解决。因此选取滑轮B为研究对象。
(2)画受力图。滑轮受到钢丝绳的拉力F1和F2(已知F1=F2=FG)。此外杆AB和BC对滑轮的约束反力为FBA和FBC。由于滑轮的大小可忽略不计，故这些力可看做是汇交力系，如图210(c)所示。
(3)列平衡方程。选取如图210(c)所示的坐标轴。为使每个未知力只在一个轴上有投影，在另一轴上的投影为0，坐标轴应尽量取在与未知力作用线相垂直的方向。这样在一个平衡方程中只有一个未知数，不必解联立方程。
由所求的结果知，FBC为正值，这表明它的假设方向与实际方向是一致的，即杆BC受压力；FBA为负值，表明这力的假设方向与实际方向相反，即杆AB也受压力。
例2.5图211所示是压榨机的简图。在A铰链处作用一水平力F使C块压紧物体D。若杆AB和BC的重量忽略不计，各处接触均为光滑，求物体D所受的压力。
解根据作用力与反作用力的关系，求压块C对物体的压力，可通过求物体对压块的约束反力F而得到。而欲求压块C所受的反力，则需先确定AC杆所受的力。为此，应先考虑铰链A的平衡问题。
根据题意和上述分析，选取A为研究对象，建立如图211(b)所示的坐标系。
2.5小结
(1)本章主要是研究平面汇交力系的合成与平衡问题，重点是利用解析法处理平衡问题。用有向线段表示力矢，直接做出力的几何图形并通过量取或用几何关系计算出力的大小和方向，该方法又叫几何法。当用投影表示力矢时，进行计算的方法是解析法，也就是投影法。以上两种方法是最基本的方法，必须认真掌握，并加以灵活应用。用投影法求分力是基本的方法，必须要掌握好，同时要针对不同情况，灵活区别，切忌死记硬背。
(2)平面汇交力系的合成结果只有两种，一种是合力不为0，即力系有一个合力；另一种是合力为0，力系平衡。
(3)平面汇交力系平衡的充分和必须条件是合力为0。在几何法中力多边形自行封闭，在解析法中平衡方程。
所要注意的是：只能求解出两个未知数。
(4)求解平衡问题时的主要步骤如下：
①选择研究对象；
②取隔离体，画受力图；
③根据平衡条件建立平衡方程，并由此画出全部未知力；④求解方程。
思考与习题
21平面汇交力系合成与平面所画出的两个力多边形有何不同？
22三力汇交一点，但不共面，这3个力能互相平衡吗？
23用解析法求平面汇交力系的合力时，若取不同的直角坐标轴，所求得的合力是否相同？
24若平面汇交力系的各力在任意两个互不平行的轴上投影的代数和均为0，试说明该力系一定平衡。
25利用平面汇交力系平衡条件解决具体问题的步骤有哪几步？
26如图212所示，固定环受3条绳的作用，已知自上顺时针的3个力的大小依次为1kN、2kN和1.5kN，试求该力系的合力。
27支架由AB和AC杆组成，A、B、C三处均为铰接。A点悬挂重物，受重力FG的作用。若杆的自重不计，试求图213中AB和AC杆所受的力。
28如图214所示，均质杆AB重FG2、长为L，在B端用跨过定滑轮的绳索吊起，绳索的末端的重物所受重力为FG1，设A、C两点在同一铅直线上，且AB和AC相等，试求杆平衡时角的值。
29电机的主动轴重20kN，直径为1.2m，要越过高度为0.2m的台阶，如图215所示。试求作用的水平力F应多大？若作用力F方向可变，试求使电机的主动轴能越过台阶的最小力F的大小和方向。
210火箭沿与水平面成β=25°的方向做匀速直线运动，如图216所示。火箭的推力F1=100kN，与运动方向成=5°。如火箭重200kN，求空气动力F2和它与飞行方向的交角γ。
211相同的两圆形钢管置于斜面上，并在两头各用一铅直板挡住，如图217所示。已知每根圆管重4kN时，挡板所受的压力有多大？若改用垂直于斜面的挡板，这时的压力有何变化？
212图218所示是机械操作车间的一个液压夹紧机构。若作用在活塞A上的力的大小为F=1kN，=10°，不计各构件的重量与接触处的摩擦，试求工件H所受的压力。
