在学习平面汇交力系的概念和合力的求法时，重点研究了平面汇交力系平衡的条件及其应用，知道解决问题的关键是利用作图法和投影法这两种最基本的方法。但在工程中，尤其是在专业课的学习中，所遇到的力不仅仅是平面汇交力系，有些力系的各作用线在同一平面内且为任意分布力系，称这一类力系为平面力系，简称平面任意力系。
对平面任意力系，主要研究的是力矩的概念与计算、力偶及其性质、平面任意力系的简化、平衡方程及其应用。本章简要介绍与平面任意力系有关的内容，为学习专业课和提高分析与解决问题的能力打下坚实的基础。
3.1力矩及其计算
力对刚体的作用效果是使刚体的运动状态发生改变(包括移动和转动)。其中，力对刚体的移动效果可用力矢来量度；而力对刚体的转动效果可用力对点的矩(也称之为力矩)来度量，即力矩是度量力对刚体转动的物理量。
3.1.1力对点之矩
大量的实践说明，作用在物体上的力除了有平动效应之外，有时还同时有转动效应。
也就是说，一个力可能使物体只产生绕质心的转动效应。例如，单桨划船时，船不可能在原处旋转；但是作用在固定支点上的物体或刚体的力将对物体或刚体只产生绕支点的转动效应，如旋转汽车方向盘、拧紧螺母的扳手等都是这样。类似的例子在日常生活、生产实践及社会应用中有很多。
如图31所示，平面上作用一个力F，在其平面内任意取一点O，点O称为矩心，点O到力的作用线的垂直距离h称之为力臂，则在平面中力对点之矩的定义如下。
力对点之矩的绝对值等于力的大小与力臂的乘积，它的正负规定为：力使物体或刚体绕矩心逆时针转动时为正，反之为负。因此，力对点之矩可表示为MO(F)=±Fh。
由图31可以很容易看出，力F对O之矩的大小也可作三角形OAB面积的两倍表示，即MO(F)=±2OAB。
说明：当力的作用线通过矩心，即力臂等于0时，它对矩心的力矩等于0。
力矩的常用单位是牛顿·米，用N·m或kN·m表示。
如图31所示，如以r表示由点到A的矢径，则矢量r×F的大小就是三角形OAB面积的2倍。由此可见，此矢积的模就等于力F对O之矩的大小，其方向与力矩的转向符合右手法则。
3.1.2合力矩定理
定理3.1平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。
说明：当平面汇交力系平衡时，合力为0，则各分力对于该点之矩的代数和皆为0。
3.1.3力矩的性质
根据力矩的概念和几何意义，得出力矩的性质如下。
(1)力F对点之矩不仅取决于力的大小，而且还与力对点的垂直距离有关，也就是与矩心有关。当矩心的位置发生改变时，力矩随之发生变化。
(2)当力的大小等于0或力通过作用线(矩心)时，力矩等于0。
(3)力对任意一点之矩，不会因该力沿其作用线的移动而发生变化，因为此时力的大小和力臂未发生改变。
(4)互成平衡的两个力对同一点的力矩的代数和等于0，即平衡力对同一点的力矩为0。
(5)平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。
(6)力矩的方向符合右手定则。
3.1.4力矩的计算
例3.1一轮带的直径为400mm，胶带拉力FT1=1500N，FT2=750N，与水平线的夹角为15°，如图32所示。试求各对于轮心的矩。
解由于胶带拉力沿轮的切线方向，其力臂的大小与夹角无关，且均为直径的一半，即D/2=200mm=0.2m。
各对于轮心之矩的大小分别为300N·m和150N·m，其中FT1的的方向为逆时针。
3.1.5分布载荷力矩的确定
如图33所示，水平横梁AB受到三角分布载荷的作用，如果最大值为qN/m，梁长为l。试确定其合力作用线的位置。
此问题是典型的载荷问题，利用力矩的定义式是无法解决的；因为力不是一个定值。处理此类问题可采用如下方法。
首先取如图33所示的坐标系，设分布载荷的合力为FR=12ql，即图形中的面积，其作用线距A端为xC，则合力FR对A点之矩为MA(FR)=FRxC。
在x处取一小微段dx，设作用在此微段的分布载荷为qx，根据几何关系有qx=(xq)/l，在微段dx上合力的大小为qxdx(近似为矩形面积)，它对A点之矩为(qxdx)x，全部分布载荷对A点之矩为。
根据合力矩定理，得。
通过计算知道：合力的大小等于三角形线分布载荷的面积，合力作用线通过该三角形的几何中心。
3.2平面力偶系
3.2.1力偶
在日常的生产、生活和社会实践中，经常会遇到像司机用双手转动方向盘、电动机的定子磁场对转子作用的电磁力使之旋转、自来水开关旋扭打开等问题。在方向盘、电动机转子、自来水开关等物体上，都作用了等值、反向且不共线的平行力。等值反向平行力的矢量和显然等于0，但由于它们不共线而不能相互平衡而抵消，它们能使物体改变其转动状态。这种由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系，叫力偶，如图34所示。
力偶的两个力所在的平面，叫做力偶作用面。两力作用线间的垂直距离，叫做力偶臂。
实践告诉我们，力偶对矩心的力矩，只与力F和力偶臂的大小有关，而与矩心位置无关，即力偶对物体或刚体的转动效应只取决于力和力偶臂的大小。因此，力学上用上述二者的积来度量力对物体或刚体转动效应，这个物理量称为力偶矩，以符号M表示，即式中，符号表示力偶的转向。
通常规定：力偶使物体或刚体作逆时针方向转动时，力偶取正号；作顺时针方向转动时，力偶矩取负号。在平面内力偶矩是代数和。
力偶的单位与力矩的单位相同，即为牛顿·米(N·m)。
力偶矩的大小、力偶的转向和力偶作用面的方向称为力偶的三要素。
3.2.2力偶的性质
力偶与力矩不同，它具有如下独特的性质。
(1)力偶无合力，即力偶不能与一个力等效，这是力偶的一个特点，也说明力偶是一个基本的力学量。因此，力偶也不能与一个力平衡。力偶在任何坐标轴上的投影为0，对任意一点之矩等于它的力偶矩。
(2)力偶对于作用面内任意一点之矩与矩心位置无关，恒等于力偶矩；因此力偶对于物体的效应用力偶矩来度量，在平面问题中它是个代数和。
(3)作用在同一平面内的两个力偶，若其力偶矩大小相等，转向相同，则这两个力偶彼此等效。
(4)在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，力偶可以在其作用面内任意转移，或同时改变力和力偶臂的大小，而不改变它对刚体的作用效应。
(5)在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，力偶可以从一个平面移到另一个平面上去，而不改变它对刚体的作用效应。
(6)作用在刚体上的力，可以平行平移到任意一点，但必须同时附加一对力偶，其力偶矩等于原来的力对新作用点之矩。
3.2.3平面力偶系的合成与平衡条件
1.平面力偶系的合成
如图35所示，设在同一平面内有两个力偶，则这两个力偶可以合成一个合力偶，合力偶矩等于这两个力偶矩的代数和。
同理，在同平面内的任意两个力偶可以合成一个合力偶，合力偶矩等于各个力偶矩的代数和，即。
2.平面力偶系的平衡条件
由力偶的合成结果可知，力偶系平衡时，其合力偶的矩等于0。因此，平面力偶系平衡的必要和充分条件是各力偶矩的代数和等于0，即。
式(32)也称为平面力偶系的平衡方程。应用方程(32)，可以求解某一个未知力的大小或力臂的大小。
例3.2机械加工中的多头钻床水平放置在工件上，同时加工4个直径相同的孔，如图36所示。已知每个钻头的切削力偶矩均为15N·m，方向如图36所示。
求加工工件时工件受到的总切削力偶矩。
解取4个工件为研究对象。
由于各力相等，且转向相同，又在同一个平面内。
根据力偶的性质，即力偶系的合成法则，上述4个力偶的合力偶为。
负号表示合力偶的转向为顺时针。这是一个生产实际中的例子，在以后的专业实习和实训中会经常接触到。这样，一旦知道了切削力偶矩，就可以考虑夹紧措施，设计合理的夹具，同时提高操作安全系数。
例3.3如图37所示，机构自重不计。圆轮上的销子A放在摇杆BC上的光滑导槽内，圆轮上作用一力偶，其力偶矩的大小为M1=2kN·m，OA=r=0.5m。图37所示位置时OA和OB垂直，=30°，且系统平衡。求作用于摇杆BC上的力偶矩M2及铰链O、B处的约束反力。
解先取圆轮为研究对象。
如图37(b)所示，A点要约束，必受FA和铰链O处约束反力FO的作用。由于力偶必须有力来平衡；因而FO与FA必定组成一个力偶，力偶矩的方向与M1相反，由此可以确定FA指向如图37(b)所示的方向。
由力偶平衡条件，得再以摇杆BC为研究对象，其受力偶M2、FA(与图37(c)中的方向相反)与FB的作用，如图37(c)所示。这里FA与FB必成力偶，且大小与FA相等。
由力偶平衡条件，得约束力的方向如图37所示。
3.3平面任意力系的简化
3.3.1平面任意力系
所谓平面任意力系，就是各力的作用线在同一平面内且任意分布的力系，简称为平面力系。
在研究平面任意力系的合成时，可以用两个力合成的方法依次进行，最后得出合成的结果。但是，这个方法既不方便，也不普遍。具有现实和实践意义的方法是将平面力系分解为平面汇交力系及平面力偶系，再进行合理、科学的简化。它的理论基础就是前面所说的力偶的性质，即作用在刚体上的力，可以平移到任意一点，但必须同时附加一具力偶，其附加的力偶的矩等于原来的力对新作用点之矩，也叫做力线平移定理。
根据力线平移定理，有如下性质：
平面内的一个力和一个力偶可以用作用在平面内另一点的力来等效替换。
力线平移定理不仅是力系向一点简化的依据，而且可以用来解释一些生产和实践中的实际问题。例如，在机械操作的攻丝加工实验中，必须用两手紧紧握住扳手，而且用力要相等。为什么不允许用一只手扳动扳手呢？如图38(a)所示，这是因为作用在扳手AB一端的力F，与作用在C点的一个力F和一个力矩为M的力偶(如图38(b)所示)等效。
3.3.2平面任意力系的简化
在一般情况下，平面任意力系在作用面内任选一点简化，可得一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O，这个力偶的矩等于该力系对于点O的主矢。
如图39所示，取坐标xOy，i、j为沿x轴和y轴的单位矢量，则力系主矢的解析表达式为其中，xi、yi为Fi作用点的坐标。
总之，平面任意力系向任一点简化，其简化结果为一个主矢FR和一个主矩MO。
(1)若FR=0，MO0，则原力系简化为一个力偶，其矩等于原力系对简化中心的主矩。在这种情况下简化结果与简化中心的选择无关，即不论力系向哪一点简化都是一个力偶，而且力偶矩等于主矩。
(2)若FR0，MO=0，则原力系简化为一个力。在这种情况下，附加力偶平衡，主矢FR即为原力系的合力FR0，作用点在简化中心。
(3)若FR0，MO0，则原力系简化为一个力和一个力偶。在这种情况下，根据力线平移定理，这个力和力偶还可以继续合成一个合力FR，其作用线离O点的距离为d=MO/FR。
用主力矩MO的转向来确定合力FR的作用线在简化中心O点的哪一侧。
(4)若FR=0，MO=0，则原力系是平衡力系。这种情况将在以后学习。
3.4平面任意力系的平衡方程下面讨论静力学中最重要的情形，即平面任意力系的主矢和主矩都等于0的情形。
综合前面的有关知识，结合平面任意力系的简化，得到如下结论：
平面任意力系平衡的必要和充分条件是力系的主矢与主矩同时等于0，即式(33)~(35)称为平面任意力系的平衡方程。
由此可得平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两个任选坐标轴上的投影的代数和分别等于0，以及各力对于任意一点的矩的代数和也等于0。
由方程(33)~(35)，可得到3个独立的方程式，且包含3个未知数，解这3个方程，即可求出3个未知数。
3.5平面任意力系平衡方程的应用
例3.4固定端(支座)的约束。
物体的一部分固嵌于另一物体所构成的约束称为固定端约束。例如，输电线的电杆、房屋的雨篷、固定在刀架上的刀片、焊接在立柱上的托架等所受的约束都是固定端约束。
形如图310所示。这种约束不但限制物体在约束处沿任何方向的移动，也限制物体在约束处的转动。它实际是平面任意力系简化的一个实际问题。
例3.5边长为a的等边三角形平板ABC在铅垂平面内，用三根沿边长方向的等长无重垂杆铰接，如图311所示。BC边水平，板上作用一力偶，其力偶矩为M，板的重力为FW。试求3个杆对平板的约束反力。
解取平板ABC为研究对象。
