“阿基米德爷爷，您真是一位伟大的力学家。我从小就喜欢玩跷跷板，原来它也是您发明的呀！”
“不，我并没有发明什么跷跷板。跷跷板只不过是杠杆原理的应用吧。”
“阿基米德爷爷不仅是位力学家，也是一个伟大的数学家，他在数学方面对人类的贡献也是巨大的。你有什么数学方面的难题可以请教阿基米德爷爷。”
“阿基米德爷爷，听您刚才所讲，您不就是会计算地球直径吗？您还会其他方面的数学题吗？”
小胡子说：“您真是狗眼看人低呀，那只不过是九牛一毛。你知道圆周率是多少吗？”
“我当然知道，3.14。”
“阿基米德爷爷在2000多年前就首先发现了圆周与直径的比例，也就是圆周率π为3.1419，与我们现在所计算的圆周率的值已非常接近了。”
“这么精确呀，太神奇了！阿基米德爷爷，您是如何算出并得到如此精确的值的呢？”
“呵呵，那个计算方法不足挂齿。我用圆内接多边形与外切多边形边数增多、面积逐渐接近的方法，比较精确地求出了圆周率。”
在当时，人们并不知道圆周率的计算方法，计算圆的周长时，一般沿用古人“直径为一，圆周为三”这个简单的经验进行类推；但计算圆的面积时，则使用古老的、不准确也不科学的比较法。其中的一种方法是画出圆形，在圆内紧密地摆放一粒一粒的麦子，然后与正方形中能摆放的麦粒数做出比较，用正方形的面积去确定圆的面积；另一种方法是取一块质地均匀的薄木板，在其上画圆并把它裁割下来，称它的重量，再与同重量的正方形做比较，以确定圆的面积。这两种方法虽然在实用上有其价值，但在理论上不够严密和准确，而且计算方法古老而笨拙。
“我通过长时期的思考和研究后，认为圆的直径与圆的周长之间有一固定比例关系，有了这个比例，就可以通过这个比例计算求得圆的面积了。”
“噢，我知道了，这个比例就是圆周率π，因为圆周长等于2πR”
“对，你很聪明。但那个时候人们并没有得到非常精确的值。”
“那您是如何利用自己的方法算出来的呢？”
“我按照自己的思路，将圆周分割成多边形，用等边的6边形内接到圆中，得到当时一直流行的算法‘直径为一时圆周为三’，也就是说圆周长与直径的比例为3。”
小胡子：“但是这个比例不够精确呀。”
“对，为解决内接6边形的边与圆弧间的误差，我继续内接12边形、24边形、48边形、96边形，内接正多边形的边越多，边与圆弧间的误差越小，直到内接多边形与外接圆完全重叠为止。这样量出各多边形的边长，相加之和就是圆周的长。”
“那最后阿基米德爷爷画出了多少个边呢？”
“只可惜我也只划出了内接96边形。这样我求出了圆周与直径的比大于223／71，约等于3.1409。”
“但您得到的精确值是3.1419，不是3.1409呀？”
“对，然后我又用几天时间，划出圆的外切96边形，然后同样量出了各多边形的边长，相加之后又得到了圆周的长。这样经过计算，得出了圆周与直径的比小于22／7，约等于3.1429。”
小胡子叔叔马上抢说：“我明白了，您确定了圆周率π的取值范围为3.1409＜π＜3.1429。”
“小胡子叔叔，你总算明白了一次。”
“对，我取这两个数的平均数，就得到了圆周率的精确值为3.1419。”
“小思友，你知道阿基米德爷爷计算π值所使用的这种‘无限细分、接近圆周’的办法叫什么方法吗？”小胡子叔叔问。
“老师还没讲呢，不知道。”
“那就让我来告诉你吧。”小胡子叔叔又开始在我面前显摆自己了。
“这种方法后人称之为‘穷竭法’，这种方法一直被后人使用了2000多年。后人计算出的圆周率，精确度大大提高了，但使用的计算方法，仍是阿基米德爷爷使用过的‘穷竭法’。”
“不会吧，后人肯定想出了其他办法，才不会和你一样笨呢。”
“你还记得牛顿街上的那个叫牛顿的人吗？”
“当然记得。这和他有什么关系？”我反问道。
“牛顿曾经说过这样一句话：‘如果说我伟大的话，那也只不过是因为我站在巨人的肩膀上’，你可还记得这句话？”
“我想起来了，他是说过这样一句话。”
“那你知道他是站在哪位巨人的肩膀上吗？”小胡子叔叔又在卖关子了。
“小胡子叔叔，你就别卖关子了，快告诉我吧！”我非常渴望地想知道。
“这位巨人就是阿基米德爷爷！”
“为什么是阿基米德爷爷？”
“因为到了18世纪，牛顿和莱布尼兹在这一巧妙思想方法的启发下，发明了微积分，由此奠定了现在《高等数学》的基础。阿基米德爷爷所创立的‘穷竭法’为微积分奠定了基础，所以阿基米德爷爷被公认为微积分的鼻祖。”
“阿基米德爷爷简直是数学之神。”
“呵呵，过奖了，其实这还不算什么，你们看看这些图形都是什么？”
小胡子叔叔和我顺着阿基米德爷爷手所指的方向看去，只见大厅左边墙上挂着一幅画，画中画有圆形，球，圆柱等图形，还有一些我从来都没见过的很奇怪的图形。
“见过其中的一些图形，但有一些从未见过。”
阿基米德爷爷：“你知道圆形的面积是如何计算的吗？”
“我不知道，我只知道圆形的面积等于πR2。”
阿基米德爷爷：“对，那就让我来告诉你我的算法吧。我不仅算出了圆的面积，而且确定了抛物线弓形、螺线的面积，以及椭球体、抛物面体等复杂集合体表面积和体积的计算方法。”
“那您都是用什么方法计算出来的呢？”
“我所用的方法就是在你们刚才所讲的‘穷竭法’的基础上进行计算和证明的。”
“这种方法的用途可真广泛。那您当时所算出来的圆面积等于多少呢？”我特别想知道阿基米德爷爷算出来的结果是否与现在人们常用的圆面积公式一致。
阿基米德爷爷：“我计算出来的圆的面积等于以圆周长为底、半径为高的三角形的面积。”
我按阿基米德爷爷所得出的圆面积的结论，开始口算验证阿基米德爷爷计算结果的正确性了。
假设圆的面积为S，半径为R，圆周长为L，则：
“阿基米德爷爷，您得到的结果与我们现在所用的公式计算结果是一致的。”我突然大声惊奇地叫起来。
“阿基米德爷爷，您是如何计算出圆面积的呢？”
阿基米德爷爷回答道：“我在计算圆周率的基础上，将圆内接正多边形，然后以圆心为顶点，正多边形的边为底作等腰三角形。”
思友：“这样，就将正N边形划分成了N个三角形。”
“对，你很聪明。”阿基米德爷爷边说边将解题过程写给了我。
假设三角形的面积为，三角形的高为，正多边形的边长为，周长为。于是可以计算得到正多边形的面积为：
；
又因为正多边形的周长为：，将代入上式便可知：。
当圆内接正多边形的边越多时，正多边形的周长就越来越接近于圆的周长，三角形的高越来越接近于半径R，正多边形的面积也就越来越接近于圆的面积，所以圆的面积为：
“但是相加后所得的结果肯定还是要比圆的实际面积小呀？”我问道。
“但当所划分的等腰三角形越小时，三角形的高就越相等于圆的半径；三角形的底边也就与圆弧越来越相近，所有小三角形的底边相加后就近似等于圆周长。这样就近似得到了圆的面积。”阿基米德爷爷马上向我解释。
“噢，我明白了，如果所划分的三角形越小，误差也就越小。”
“对，你的确很聪明。后来，我将其它图形面积和体积的计算方法和结论都写到我的书中了。”
“好的，有机会我一定要拜读。”
阿基米德将抛物线弓形、螺线、圆形的面积，以及椭球体、抛物面体等复杂集合体表面积和体积的计算结论都写入了他的书中，其计算结论对后来人们在数学及几何上的发展产生了深远的影响。
在《球与圆柱》一书中，阿基米德熟练地运用“穷竭法”证明了球的表面积等于球大圆面积的四倍；球的体积是一个圆锥体积的四倍，这个圆锥的底等于球的大圆，高等于球的半径。阿基米德还指出，如果等边圆柱中有一个内切球，则圆柱的面积和它的体积，分别等于球的表面积和体积。
在《抛物线求积法》一书中，阿基米德研究了曲线图形求积的问题，并用“穷竭法”得到了这样的结论：任何由直线和直角圆锥体的截面所包围的弓形（即抛物线），其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四。他还用力学权重方法再次验证这个结论，使数学与力学成功地结合起来。
在《论螺线》一书中，阿基米德明确了螺线的定义，以及对螺线的面积的计算方法，是对数学的出色贡献。
在《论锥型体与球型体》一书中，阿基米德讲述了确定由抛物线和双曲线围绕其轴旋转而成的锥型体体积，以及椭圆绕其长轴和短轴旋转而成的球型体的体积的结论。
