摘要 当前我国的养老保险制度还不健全，反向抵押贷款的提出给我国的养老保障机制提供了新的思路。在反向抵押贷款中，价格的制定是一个关键的环节。本文首先简要分析了反向抵押贷款定价中的主要影响因素，接下来重点对定价进行了实证分析。实证分析中除了得出我国反向抵押贷款的价格外，还对几个主要影响因素的敏感性作了一定分析。最后，本文根据实证结果，提出了几点相应的建议，希望对我国开展反向抵押贷款能起到一些参考作用。
关键词 反向抵押贷款 产品定价 影响因素 敏感性分析
反向抵押贷款概念自20世纪90年代中期被引入中国后，逐渐受到人们重视。
国内学者也对反向抵押贷款做了许多研究。但这些研究大都集中在反向抵押贷款的国外经验介绍、在我国的可行性、运行机制等定性分析，对贷款制度建立中关键的产品定价问题的研究还较为少见。本文正是从这个角度出发，对我国反向抵押产品的定价做个定量分析，希望对我国开展反向抵押贷款提供一些参考价值。
一、产品定价影响因素分析
（一）相关文献回顾
在关于反向抵押贷款的研究中，对产品定价方面的研究较少。Chinloy和Megbolugbe（1994）曾对该问题进行过专门探讨。他们认为，反向抵押贷款没有对借款人的收入状况进行要求，唯一的担保就是房产，一旦借款人的寿命超出预期，那么他接受的贷款额就会大大高于房产价值，这给贷款机构带来了很大的风险。
鉴于此，反向抵押贷款定价中需要把这一风险进行重点考虑。他们根据这些特点，设计了一个反向抵押贷款的定价模型。这一模型是比较有代表性的，许多其他的定价模型都是根据他们的模型思想做出的。在国内，汪传敬也依据该模型提出了反向抵押贷款的定价模型，这也是本文实证所采用的模型，将在第四部分进行详细的介绍。
以上对反向抵押贷款的定价模型进行了简要地回顾。事实上，在反向抵押贷款的定价中，风险的衡量是一个很重要的方面。国内外学者对这个问题也有所研究，如Shiller和Weiss（2000）对反向抵押贷款中的道德风险进行研究。他们认为，本项贷款申请成功后，房产价值走低的风险完全由贷款机构承担，借款者就没有动力来维修住房，以致对贷款机构造成损失。我们曾经对我国反向抵押贷款市场中的“柠檬市场”进行了分析，认为由于信息不对称，贷款机构难以了解借款人真实的健康状况，整个反向抵押贷款市场可能出现健康状况良好者都申请贷款，而身体差者却不申请，结果导致贷款机构支付贷款的平均时间增加，使得贷款总额极可能会超过房产总值，使贷款机构遭受巨大损失。其他一些学者如Szymanoski（1994）等也对反向抵押贷款中的种种风险进行过分析，限于篇幅这里不再细述。
（二）产品定价影响因素分析
对反向抵押贷款进行定价，实质就是确定反向抵押贷款的额度。事实上，反向抵押贷款中，贷款的支付方式有多种，一般包括：一次性总额支付、信贷额支付及分期支付等，不同的支付方式有不同的定价方式。本文所分析的是年金产品，所谓年金产品，就是贷款额按年等额支付，并一直持续到借款人死亡为止。这种产品的支付期是不确定的，一直延续到老人生命的终结，是最符合以房养老特点，也是不确定因素最大的，这种产品往往持续很多年，各种因素的变动都会对产品价格的制定产生很大影响。
在反向抵押贷款中，对定价影响比较大的因素有下面几项：借款人的寿命、房产的价值、房产的增值率及利率等。
反向抵押贷款简单的相当于“以房抵债”这样一个过程，房产价值直接影响到贷款额度的大小。由于反向抵押贷款中，房产是在整个贷款结束后才能用于“抵债”，贷款结束后的房产价值才是反向抵押贷款中需要考虑的价值。可以将未来房产的价值分解为当前房产价值和房产价值的增值率两部分。当前的房产价值是一个确定值，未来长时期的房产增值率则是个变量，定价中需要重点考虑增值率这个因素。
在反向抵押贷款中贷款机构为借款人提供了现金，同银行的普通贷款业务一样，贷款机构的收益主要来自于利息，不同的是反向抵押贷款中的借款人不是以现金的方式归还贷款，而是以房产的形式。既然利息是贷款机构的利润来源，那么确定合理的利率对贷款机构来说意义重大。利率的大小决定了借款人和贷款机构的利益分配情况，如利率过高，贷款机构的收益提高，借款人的贷款额将会减小，其利益受损；反过来，如贷款利率过低，借款人的利益虽然得到充分的保障，但贷款机构无利可图，这使得他们没有动力开展业务。根据资本资产定价模型，一个合理的利率应该是无风险利率加上相应的风险溢价。然而可惜的是，我国对反向抵押贷款的研究中，有关风险的研究还很少有定量分析，这在很大程度上制约了我国反向抵押贷款业务的开展。
二、模型解释和数据说明
（一）模型解释
本文将对无赎回权的年金式反向抵押贷款产品进行定价分析。我们根据Chinloy 等人的模型思想，组建了反向抵押贷款的定价模型，这也是本文采用的主体模型。
在模型推导前，先简单阐述一下该模型定价的思路。反向抵押贷款市场中，贷款机构是产品的提供者，借款人是消费者。假设反向抵押贷款市场是个完全竞争的市场，那么厂商，即贷款机构将不能取得超额收益。考虑机会成本之后，贷款机构的利润应该为零。本文所采用的模型就是从这个角度出发的。
在反向抵押贷款中，贷款机构的成本是支付给借款人的贷款，收益是借款人的房产价值。根据无超额收益原则，经过贴现的成本和收益应该相等，从这个等式可以解出借款人每期可以得到的贷款数额，也就是反向抵押贷款的价格。
反向抵押贷款的定价中，借款人的寿命是一个重要的影响因素。模型中利用借款人的存活率将这一因素进行结合。用p（t）表示借款人在t 时刻存活的概论密度，则p（t）也是贷款支付的概论分布密度。p（t） 满足下式：
∫Tt＝0p（t）dt＝1（1）
其中T表示贷款到期的时刻，也即借款人死亡的时刻。记A（t） 为借款人在t时刻收到的现金支付，因为t 时刻借款人的存活还是死亡是不确定的，即贷款的支付A（t） 也是不确定的，因此用p（t）A（t） 作为调整的现金支付值。其现值为p（t）A（t）e－rt，这里r 为复利形式的折现率。从而在整个贷款期内，贷款机构支付的贷款总额的期望现值为：
∫Tt＝0p（t）A（t）e－rt dt（2）
记H为借款人申请贷款时的房产评估值，h为房产的增长率（复利形式）。贷款结束时，房产价值的现值可以由下式表示：
He（h－r） T（3）
（3）式表示了贷款机构收入的现值，根据前面的分析，贷款机构的收入现值和75 支出现值应该相等，从而有：
He（h－r）T＝∫Tt＝0p（t）A（t）e－rt dt（4）
在年金产品中，一般每期贷款的现金支付都是相同的，本文也采用这种简单的模式，即A（t）对于不同的t是相等的，用A来表示。为了讨论方便，假设p（t） 可以调整为一固定值p，由此，（4）式变为：
He（h－r） T＝pA∫Tt＝0e－rt dt（5）
解方程（5）可以得到：
A＝rH e（h－r） T／p（1－e－rT）＝rH／pe－hT（erT－1）（6）
A＝bH，其中：b＝r／pe－hT（erT－1）（7）
（6）式就是反向抵押贷款的定价公式，b称为支付系数。从定价公式，可以看出反向抵押贷款的价格A跟房产的初始价值H成正比，和房产的增长率h成正比（在其他条件不变的前提下，h越大，支付系数b就越大）。这个经济含义是明显的，H和h值越大，表明房产价值的现值就越大，借款人所能得到的款项也就越多。贴现率r对A的影响有两方面：一是对贷款总额的影响，r越大贷款总额的现值就越小；二是对房产现值的影响，r越大房产现值越小。这一影响可以从（6）式的第一个等式看，当r变化时，等式右边的分子、分母产生同向变化，所以难以确定A值的变动。
（6）式表示的反向抵押贷款的定价模型，考虑了借款人的寿命风险，和房地产价值的波动因素。事实上因许多参数没办法估计，该模型还难以用来实证，比如p的调整就是个难题。之所以把这个模型介绍进来，是因为该模型是本文所用模型的基础，并且由于该模型形式简单，使得讨论定价的影响因素相对容易。
为了使其能用于实证，下面对该模型进行修正。修正的主要思路是将原来（2）式连续的积分改成离散形式。
首先对p进行调整。在现实的人寿保险业中，对保险者死亡率（或存活率）都是按年调整的，并不是关于时间t的连续函数，因此这里也把p改成按年调整的值，相应的，t也变成整数（t＝0，1，2，T），t＝0表示贷款当年。在这里假设借款人接受现金支付是在每年的年初，而死亡则发生在每年的年末。根据《中国人寿保险业经验生命表（2000－2003）》，人在105岁时的死亡概率为100%，T的取值为：105－x，其中x表示借款人申请贷款时的年龄。下面对模型中需要使用的参数进行说明：
px：x岁的人在当年存活的概率；
qx：x岁的人在当年死亡的概率；
px（t）：x岁的人在第t年仍存活的概率；
qx（t）：x岁的人在第t年死亡的概率。
将（2）式改成离散形式即贷款机构支付的贷款总额的期望现值为：
为修正后的反向抵押贷款定价公式，相应的支付系数b由（11）式给出。
对该模型做实证分析，还需要对模型中的参数进行估计。r为年贴现率，它的确切值应该是与反向抵押贷款风险相对应的期望收益率，但我国对反向抵押风险的定量研究还很缺失，没有合理的风险值，因此本文采用了住房按揭贷款利率作为贴现值。对于第t年的存活概率px（t），和死亡概率qx（t），都可以通过qx计算求得：
h是房产价值的增长率，对它的估计涉及到房地产市场的定价问题。Case和Shiller（1989）对房地产市场做实证分析后认为，房地产市场价格存在自相关性，而Gau（1987）的统计结果则表明，在长期当中，并不能拒绝房地产市场有效的假设。
对于反向抵押贷款来说，对房产价值的考虑一般都要十几年，所以本文采用了房地产市场有效的假设。在有效市场的假设之下，Szymanoski（1994）认为可以将房产市场价值的波动看作“几何布朗运动”。由于反向抵押贷款过程中，房屋的居住权仍然属于借款人，贷款机构并不能取得租金收入，这样反向抵押贷款中房产的定价类似于无红利股票的定价。用μ表示房产市场中短期的预期收益率，σ为房价的波动率（预期收益变动的标准差），那么房产价格的波动可以用下式表示：
dH／H＝μdt＋σdz（12）
这里H代表房价，dz是一随机变量，服从标准正态分布。（12）式表明房产价格的增长率由两方面决定：一是短期的预期收益率μ，并随着时间的增加而积累；二是房产价格的波动率，由于dz是一随机变量，因此这一项对房产价格增长的影响是不确定的，可能为正，也可能为负。整个式子表明房产价格的变化量，沿着直线dH＝μHdt 做随机波动。
（11）式表示的支付系数b中的h值，可由（12）式进行估计，事实上h即为dH／H 的期望值，具体用下式表示：
h＝E（dH／H）＝μ－σ2／2（13）
本文采用了房地产价格指数，来计算房地产价格的增长率和波动率，以此来估计μ和σ。
（二）数据说明
本文所采用的数据来源于国家统计局、中经网数据中心和保监会。贴现率采用的是住房贷款利率。房地产价格指数采用季度数据，时间从1998年初到2006年末，跨度长达9年。由于反向抵押贷款中，贷款机构收回的房子都是旧房，因此合理的数据应该是二手房的价格指数，但因我国二手房交易的数据缺失，在这里用房产价格的综合指数来代替。为了尽可能地消除偏差，本文考虑了折旧，并采用直线折旧法，住宅以100年的使用寿命计，每年的折旧率为1%①。不同年龄的死亡率采自保监会于2005年发布的《中国人寿保险业经验生命表（2000－2003）》。
三、实证分析
根据（13）式计算得出全国房价平均增长率为4.17%，扣除1%的折旧率后是3.17%，即h＝3.17%。贴现率采用了按揭贷款利率，为5.508%。表1给出了与申请年龄相对应的支付系数b的值。
以60岁的男性借款人为例，假设他的房产的现时评估值H为50万元，对应的支付系数b为4.97%，他每年可以得到的贷款额A＝bH＝50×4.97%＝2.485万元。我国2005年人均消费性支出为7942.88元，即使是没有养老金的老年人来说，2.485万元的现金收入将能满足他甚至整个家庭的基本生活支出。
对具有基本养老保障的老人来说，这一收入将大大改善他的生活质量。从表1可以得到：借款人申请贷款时的年龄越大，他所能获得的贷款额也就越大（H 相同的条件下）。因此，在相同的条件下，贷款申请人的年龄越大，反向抵押贷款对他的保障也就越大。
随着反向抵押贷款申请人（男性）年龄的增加，支付系数b的增长情况。当贷款申请人为62岁时，他所对应的支付系数相比60岁的申请人增长了8.44%，72岁的申请人所对应的支付系数相比70岁的申请人增长了10.56%。相同的年龄差距（如上面都为2岁），对贷款申请人的支付系数的影响是不同的，年龄越大即影响越大。从某种角度来看，反向抵押贷款就是贷款机构采用分期付款的方式，向贷款申请人购买住房。撇开房价波动、贴现等因素，贷款机构每期付给贷款申请人的现金，即为房价除以期数。从平均的意思上看，期数就是申请人的平均余命（即平均剩余寿命）。这样每期的贷款支付额相当于将房价平摊到余命的每一年，用简单的表达式可以表示为A＝H／T，其中A 为贷款支付额，H 为房价，T为贷款申请人余命。为分析方便，假设申请人的年龄差距为余命差距的2倍，即62岁的人的余命比60岁的人的余命少1年（这里申请人的年龄差距为2年，所以79 余命差1年）。这样申请者2岁的年龄差，导致的A值的增长率为：
很显然，申请者年龄越大，余命T越短，每期支付额的增长率就越大。简单的说法就是，相同的影响（都是2岁的年龄差）分摊在越来越短的余命上，所以影响程度就越来越大。
可以得出另一个结论：女性申请人的支付系数要小于相同年龄男性的支付系数，而且减小的幅度都在12%以上。原因很简单，相同年龄女性的死亡率要比男性低②，这意味着女性的平均余命大于男性的平均余命，相应的支付系数也就比男性的要小。
贴现率r对支付系数有一定的影响，由于r 对房产现值和贷款额的现值都有影响，从而r对支付系数b 的影响依赖于具体的经济情况，是不确定的。从实证的结果看（其中横轴表示男性申请者的年龄，纵轴表示在r＝5.508%，h＝3.17%的条件下，r增加1%造成的b的变动量），r对b的影响是负的，r的增加使得b减小。因此可以断定，在当前的经济情况下（即r＝5.508%），r变动对贷款额现值的影响，小于对房产现值的影响。可以看出，对于年纪稍轻的申请人来说，贴现率r的变动，对其所能获得的贷款额的影响还是比较大的，如对于60岁的申请人来说，r一个百分点的增加，将使得他的贷款额减少9.85%。对于高龄老人，利率变动对其的影响就会比较小，一般就一两个百分点，基本可以忽略。
随着申请人年龄的增大，利率对其可得贷款额的影响将逐渐减小，这一现象也很容易理解。申请人的年龄越大，平均余命就越短，这意味着利率对贷款额现值和房产现值的影响的积累时间就越短，从而对贷款额的影响就越小。
从（7）或（11）式可以明显地看出，房产价值的增长率h 对支付系数b 的影响是正向的，h 越大房产价值的现值就越大，当然相应的贷款额也就越大。实证结果也验证了这一结论。图3显示了房价的增长率对支付系数b的影响，横轴表示男性申请者的年龄，纵轴表示在r＝5.508%，h＝3.17%的条件下，h增加1%使得b增加的比率。可以看到，房价波动对支付系数的影响是很大的，在60～70岁这一年龄段，一个百分点的增加，会使支付系数增加15%甚至更多，特别是60到62岁，增加的比率更是高达20%以上。同贴现率r 一样，当申请人年龄增大时，房价增长率h对b的影响逐渐减小。原因也是类似的，年龄越大，平均余命越短，房价波动的积累也就越少，对b的影响相应减小。
还可以得出一个结论：贴现率r的变动对支付系数的影响，要小于房价变动率h对支付系数的影响。这主要是因为r的变动对房价的现值和贷款额现值都有影响，并且是同向的，所以会相互抵消一部分，但h的变动只影响到房价的现值，积累的效果大于r的积累效果。
四、建议和结语
（一）建议
根据上面的分析，申请者年龄和性别对反向抵押贷款的价格有明显的影响。
在现实生活中，反向抵押贷款的申请者一般都会有配偶，并且由于房产只能在借款人及其配偶都去世后才能被出售，因此贷款机构在确定支付系数时，应该考虑申请人配偶的情况，并以夫妻两人各自的支付系数中较小的一个为准，否则贷款机构将承担额外的风险。
本文给出了反向抵押贷款的价格，用的是全国的平均数据。事实上，各地的房价增长率是有明显差别的，而且房价增长率微小的差别将引起支付系数的巨大变化，所以在具体的反向抵押贷款操作中，比较合理的方法是各个地区分别定价。这样不仅使得贷款机构得到的贷款额度更为合理，也使贷款机构的风险进一步减小。
随着申请人的年龄增大，平均余命缩短，这意味着不确定性减小，或者说风险减小。实证结果也证实了这一点，申请人的年龄越大，贴现率r、房价增长率h等因素的变动，对支付系数b的影响越小。鉴于此，贷款机构在确定支付系数时，与风险相对应，对不同年龄段的申请人可以采用不同的贴现率，年纪较小的贴现率大，年纪大的贴现率相应减小。
（二）结语
本文对我国反向抵押贷款产品的定价做了分析。首先定性分析了定价中的影响因素，然后利用数理模型做了实证分析，并得出了相应的结论。我国原来的住宅产权年限是70年，现在物权法虽然规定到期后可以自动续期，但没有对相应的费用做出规定，续权费用可能会对反向抵押贷款的价格产生较大的影响，本文未对其进行考虑。另外，我国的利率还未完全实现市场化，本文没有对利率的波动做合理的估计。这都是本文有待改进的地方。
