摘要 大力开办反向抵押贷款的金融产品，实现以房养老的宗旨，来加强养老保障，开拓养老的新思路，是目前大家极为关心的。本文依据动态优化理论，从老年人预期寿命和房价波动的理论入手，设计了反向抵押贷款金融产品的定价模型，试图在此方面对反向抵押贷款在我国的开办起到一定作用。
关键词 以房养老 反向抵押贷款 金融产品定价模型 动态优化
国内外有关以房养老模式的研究，大都集中在以反向抵押贷款为代表的新型金融产品开设的制度探索和可行性分析。这里谈到的反向抵押贷款的资产定价，则是指老年人将住房抵押于特定机构后，每期应交付房款额度的核算，也即老年人每期可从中取得养老金数额应如何确定。这是以房养老模式推行的核心内容，目前这方面的研究还较少。本文试图对此以相当的说明，以期能填补养老保障领域中以房养老定价的空白。
一、反向抵押贷款金融产品定价模型的条件设定
反向抵押贷款金融产品的定价，一般而言，涉及老人预期寿命、房价和利率三大因素。鉴于老人预期寿命与实际寿命的不一致，房价和利率因素在长时期内会发生剧烈波动等，形成了本产品推出的三大风险。我们假设本市场是处于完全竞争状态，并在这个假设下确定养老金给付的定价原理。目前的研究中出现的较为合理的定价原理为：
每年应领取养老款项＝该房屋抵押时评估价值／预期该成员存活年限×给付系数根据以上定价原理，在舍去利费率因素后，本文将产品定价模型区分为“养老金核算”和“房产价值评估”两部分内容分别加以解决。“养老金核算”采用目前寿险精算中生存年金趸缴纯保费的计算原理，将寿命长短的不确定性纳入本模型考虑范围，其中的实际支付年金还需要经过同期通货膨胀率的调整；“房产价值评估”
则将住房价值分为地表建筑价值和地皮价值，地表建筑物要考虑折旧因素影响，并采用指数折旧法；对土地价值的波动则模拟了几何布朗运动并考虑随机因素的影响，由此模型得到的结论会与现实情况拟合得较好。
反向抵押贷款产品定价中需要做的主要工作，我们认为可分为如下四个方面：
1.运用适当的房产价值评估的技术与方法，确定该房产的合理价值，并合理推算房价的预期变动；
2.运用保险精算和大数定理的方法确定老年人的预期寿命及尚可存活年限；
3.根据当期的利率和业务开办的成本计算所需要的费率，同时预测未来经济状况的变动和通货膨胀和预期的利费率的走向，计算给付系数；
4.根据以上三项因素计算每期应当向老年人合理支付的房款即养老金。
反向抵押贷款产品的实际运行中，除预期余命、房价、利率三个主要影响因素外，还与诸多因素相关，如寿命延长、执行中违约、风险防范、房地价值涨跌趋向、利率升降预期、物价变动、城市规划设计变更、房屋拆迁等因素相关。合理的定价模型应当较为全面地反映这些因素的影响。鉴于本文篇幅有限，不可能对诸多因素都给予全面论证，故此只能割爱。
鉴于预期寿命的测算在寿险精算领域已得到了较为满意的解决，相关结果完全可以拿来使用；房产价值评估在目前研究的焦点，集中在房产正确估价的方法。
国外在这方面已取得了很多成果。主流的资产定价主要有三种思路：销售比较估价法（sales comparison approach）；基于成本的估价法（cost approach）；基于收入的估价法（income approach）。目前研究以第三种方法居多。在这一领域做出主要贡献的经济学家有：RICS（2002）；IVSC（2002）；Dotzour（1988）；Chinloy，Cho和Megbolugbe（1997）；Graff和Young（1999）。而美国着名经济学家罗伯特·希勒还提出了房产价值保险的命题，都有助于本文对产品定价模型的确立。
本文将在前人研究成果的基础上，从动态优化的不同视角解决房产定价的问题，并据此对反向抵押贷款的产品定价原理进行数理上的分析，试图构建较为合理的定价模型。
二、以房养老定价模型的建立
（一）产品定价依据基本公式的介绍
假定以房养老市场处于完全竞争市场，金融机构开展此业务的利润为零（应得利润设想可通过财政贴息、税费优惠等举措实现）。本产品定价模型应予满足的基本公式如下：
现在：养老年金给付本息总和现值－机构业务成本现值＝目前房产评估价值（1）到期：到期养老年金给付本息总和－机构业务成本＝到期房产余存总价值（2）在两个计算公式中，公式（1）是从现在的角度来看，金融机构开办本业务，应当考虑的各项因素的目前状况，并据以计算每期应向老年人支付房款的数额；公式（2）则是从到期的角度看，业务最终终结时向老年人给付房款的总价值，与金融机构可实际获得住房的价值相比后得到结果。
公式（1）中，“养老年金给付本息总和现值”是指在整个预期给付期间给付的养老金总和的现值；“机构业务成本”则是指业务开办机构开办此项业务所需要付出的额外代价（鉴于本业务的复杂，联系面的众多，它将比正常的抵押贷款要付出更多的费用）；“目前房产评估价值”是指在目前金融机构受理住房抵押业务时，房产的评估价值。
公式（2）中，“到期养老年金给付本息总和”则是指业务开办机构在老人余生的漫长时期里，向该老年人每期支付房款的本金与利息的到期总值；“到期房产总价值”则是指所抵押房产在本业务到期，或者说该老年人最终死亡时尚存留的，可以由业务开办机构接手并据以抵补前期用费的价值。这一公式显然是从业务结束、“盖棺论定”时所需要得出最终结果的计算公式。
我们将定价模型分为养老金核算及房产价值评估两部分，以下分别予以说明。
（二）养老金核算
反向抵押贷款定价模型中的养老金核算，可采用目前寿险精算中生存年金趸缴纯保费的计算原理。养老金给付以年金受领人生存为条件，于每年年末支付依当年通货膨胀率调整的年金。设y 为每年末实际支付的固定年金，P（y） 为实际年金现值总和，两者关系如下：
P（y）＝Σ105－a0t＝0e－rt·y·pa0＋ta0其中，a0为反向抵押贷款合同生效时的年龄；t表示申请人在合同生效后存活的时间；pa0＋ta0表示a0岁的人在（a0＋t）岁时仍然存活的概率，因为根据《中国人寿保险业经验生命表（2000－2003）》，人在105岁时死亡的概率为1，所以t 的取值为［0，105－a0］。
（三）房产价值评估中的诸多假设
房产价值包括地表建筑物价值和所占地皮价值两部分。
假设1：本模型中所有的价值变量均使用扣除通货膨胀因素后的实际价值。
86 假设2：地表建筑的价值依赖于状态变量X（t），并以固定折旧率d 以指数的速度进行折旧，即X（t）＝x0e－dt，其中，x0＝X（0），d＞0，x（t）≥0。第0期表示养老者办理反向抵押贷款业务期始。
假设3：历年的房屋价值要以无风险的实际利率r 折现，r＞0。
假设4：地表建筑物可以在任意需要的时期予以拆除，但不能在原址重新建造。
房屋拆除后，房产剩余价值只有所占土地的价值，该土地可以出卖。土地价值与房屋拆除期的地表建筑物的价值的状态变量X（t），呈现独立。
假设5：土地价值为L（t），满足几何布朗运动，即dL＝μL dt＋σL dW。其中，μ 为恒定的漂移系数，σ 为恒定的扩散系数，dW 是随机变量，服从标准正态分布，两个系数可从对土地价值历史数据的回归分析中得到。
房产所有人的目标是选择适当的时间T（一般为60岁退休，并需要从住房中释放出部分价值来弥补养老金不足时开始），向特定金融机构或特设业务开办机构抵押地表建筑物（土地在我国归由国家所有，私自出售土地则不被允许），以从房产中获得最大限度的价值（包括地表建筑的折现及余留土地的价值）来满足养老使用。
最优化策略应解决以下目标的利润最大化问题：
V（x）＝sTu≥ pt0∫T
t0e－rt（xe－dt）dt＋e－rT L，令G（T，L）＝∫T
t0e－rt（xe－dt）dt＋e－rT L
其中，t0为养老者死亡期的预期值。t0＝a0＋痹ea0（痹ea0为a0岁的平均余寿，可从生命表中查得）。在动态优化的模型中，如房主决定永久性地维持地表建筑物，则T＝＋∞（但有住宅实际使用期限的限制，这里假定当住宅使用日久报废时重新建造新的住宅）。V（x）表示房产初始价值为x 时的最优化的房产价值。
假设6：T≥t0。抵押于反向抵押贷款的房产即x0，一般需要拥有较高的初始价值，以保证养老者去世时，房产的地表建筑仍然拥有足够大的价值，来归还欠付金融机构的贷款本息。金融机构在办理此业务时，必然会对该房产的实际价值做充分评估。这里假设6与实际情况是相符的。
假设7：μ＜r ，即0＝limx → 0＋xe－dT ＜（r－μ）L＜limx →＋∞xe－dT＝＋∞
假设8：T ≤ 70。对我国目前房地产的建设与使用周期而言，土地使用年限为70年，一般住宅的使用年限通常不超过五六十年。一幢房屋经数十年使用后，房屋本身已是破旧不堪，难以发挥正常功用，但房屋所附着的土地却仍然会保留着较高的价值。由假设7可以知道，当地表建筑拥有价值为零时，房产所有者并不会长期持有单纯的土地资产，通常会对该项地产重新建造新的住宅，即T ≤ 70。故土地使用年限70年的限制对本定价模型的影响较小，这里可将其忽略不计。
（四）房产价值评估中的模型建立与测算
由假设7可知，方程④有解；又因为函数X（t）＝xe－rt 有界连续且关于x 是单调增加，可认定该方程有唯一解。
三、反向抵押贷款金融产品定价模型的解释
（一）模型的经济学解释
以下是对T（x） 的经济学解释：住宅拆除期的决策与地表建筑物的折旧率有连带关系，房屋残余价值的状态为x，土地价值的漂移系数为μ 以及土地的初始价值l 0有关。
漂移系数μ 对住宅拆除期决策的影响较为复杂：一方面，漂移系数越大，土地增值越快；而另一方面，如果单纯考虑土地增值与无风险投资的关系，由于μ＜r，越早将土地变现投资于无风险资产越好。但土地变现要以拆除地表建筑物为前提，这就损失了地表建筑物的余留价值。最优的拆除期决策要综合考虑以上两方面的因素。
T（x） 的决策与养老者预期死亡时间t0无关，只与房产本身的价值特征有关。我们可对V（x） 的经济学含义解释为：房产价值与地表建筑物的折旧率为d，房屋残余价值状态为x，土地价值的漂移系数为μ，养老者预期死亡时间为t0及土地的初始价值l0有关。因地表建筑物的折旧速度越快，房屋残余价值就越低，而土地的初始价值越高，房产的价值就越低，住宅拆除的时间就越早。
漂移系数μ 对房产价值V（x） 的影响有两部分：对地表建筑物价值的影响，主要体现在其对拆除期T（x） 的影响上；对土地价值的影响，漂移系数μ 越大，建筑物拆除时土地的价值就越大。
（二）定价模型
根据前面我们提出的反向抵押贷款金融产品的定价公式：
养老年金折现总和－金融机构的业务成本＝房产余存总价值即： P（y）＋c＝V（x）
其中，c 为办理一项业务的总成本，c 为常数。反向抵押贷款金融产品的定价模型为：x＞（r－μ）L0时。
（三）模型评价
反向抵押贷款金融产品的定价，一般而言，包括预期寿命、房价波动和利率波动三大因素。本文谈到的定价模型，主要探讨了养老金核算和最优住宅拆除决策下的房产价值评估两个主要部分。
1.养老金核算部分采用目前寿险精算中生存年金趸缴纯保费的计算原理，将寿命的不确定性纳入了模型的考虑范围。此原理是目前寿险精算实务中广泛采用的方法。另外，实际支付的年金对可能出现的通货膨胀率给予了相应的调整，应是较为合理的。
2.最优拆除期决策下的房产价值的评估将房产价值分成两部分，即地表建筑物的价值和土地价值。其中，地表建筑物考虑了折旧因素，并采用了指数折旧的方法，而非简单的线性折旧；土地价值的波动考虑了随机因素，并将其价值波动模拟为几何布朗运动，与现实情况拟合得较好。
3.目前，我国的利率政策还基本地由政府决定，而非市场经济下的自由浮动。
因此，本模型没有考虑无风险实际利率的变动。但需要说明的是，在长达十数年乃至数十年的长时期里，利率的波动是十分显然之事。利率的升跌对整个定价模型的影响将是很大的，任何小的波动经过日积月累都会引起价格的大波动。这些都将在以后要给予专门研究的，这里存而不论。
