摘要 反向抵押贷款的产品定价，是本项贷款研究的基本内容。
本文在假设若干数据的情形下，建造了支付模型和终生年金模型两个基本模型。以此为据对我国反向抵押贷款的产品定价问题组织了较为深入的说明。
关键词 反向抵押贷款 金融产品定价 支付模型 终生年金模型反向抵押贷款的产品定价需要涉及因素众多，本文根据中国的实际情况，考察在未来20年左右的时期内，尤其是其中关键的死亡率、利率、房价和费用等的变化情况，并做出合理的基本假设。死亡率以1993年中国人寿保险经验表数据计算；利率条件假定为固定利率；假定房价与GDP两者的上升率相当，减去住房折旧率，得到住房价值上升率；费用则取发起反向抵押贷款时住房资产的一个百分比。随后建立反向抵押贷款定价的两个模型：一笔支付模型和终生年金模型，在反向抵押贷款中任何一种支付组合都可由这两个模型组合而成。最后模拟分析数据并与美、日及新加坡等国的数据进行比较。
一、基本假设
本文的研究以未来20年为背景，从现在情况来看，未来20年中国经济将保持较高增长率，平均估计为7%～8%，比过去的20年大约低2个百分点。本文主要建立以单个老年人为对象的一笔支付和终生年金支付的反向抵押贷款定价模型②，在某种程度上，其他支付类型的反向抵押贷款定价可由一笔支付和终生年金支付组合而成，通过适当调整组合可得出。本文假定借款人从65岁参与反向抵押贷款计划，尽管在这之后借款人可能因多种原因搬出住房，但模型中假设老年人一直居住在住房中，不考虑搬迁率；另外模型对遗产动机等问题也没有涉及，这些可在结果修正时一并考虑。已知定价模型中涉及三个主要参数：死亡率、利率和住房增值率，下面讨论这些参数的设定。
（一） 死亡率
本文将借款人的死亡视为随机变量，即贷款机构的给付时间是一个随机变量，在此前提下进行年金的计算。
以X 为借款人死亡时的年龄，为随机变量，F（x）为X的分布函数，也称为0到x 岁之前的死亡概率。
F（x）＝P（X ≤x），（x≥0） F（0）＝0（1）
s（x）＝1－F（x）为生存函数，tqx表示x岁的人在t年内死亡的概率，tpx为t年内存活的概率，显然，tqx＝1－t px。
t qx＝Fx（t）＝s（x）－s（x＋t）
s（x）＝lx＋tlx（x≥0）（2）
t｜u qx表示x 岁的人活过t 年在其后u 年内的死亡概率。
t｜u qx＝t＋u qx－t qx＝t px×u qx＋t（3）
（二）利率度量
本模型将利率分成三种类型：
第一，无风险利率（r）表示资金的使用成本，以银行利率为基准，在过去20多年的情况，银行定期存款的真实利率在1987年1月到2003年7月的平均值为0.32%①，在未来20年的时间尺度上，均衡的银行存款利率可按1%估计，再加上3个百分点的利差，反向抵押贷款期望的长期真实利率可按4.0%来估计（即r＝0.04）。
第二，折现率（i）表示在无风险利率加上风险升水（反映未来还款期的不确定、住房资产价值的不确定等），本文假定i＝r＋0.02＝0.06。
第三，利率（y）表示在折旧率上加上必要的利润率，可以视为借款人进行反向抵押贷款所付出的成本，本文假定y＝i＋0.01＝0.07。
另外本文假定参与反向抵押贷款的老年人没有其他以住房为抵押的贷款，根据目前反向抵押贷款的数据，假定借款人为一人（即没有共同借款人），借款采取的支付方式是终生期限的固定每月年金支付（y），借款人不搬离或出售住房。尽管死亡是个随机过程，为方便起见，我们假定老年人死亡时间在月末，住房也随之出售。
（三）住房价值增长率（g）
按宋国青从现在的情况推断，未来20年中国经济还将保持比较高的增长率，平均增长率为7%～8%，比过去大约低2个百分点①。本文假设平均增长率为7.5%，如果房价收入比稳定不变，则房价按同样的增长率上升。房价中的一大部分是土地及与土地类似的垄断权引起的附加价格，因为土地不存在折旧问题，按住房总值计算的折旧率是很低的，每年不超过3%。房价按7.5%的年率上升，减去3%的折旧率，即住房将以4.5%的年率升值。
美国HECM采用的住房升值率的假设值为4%，本文的假设略高于它，主要是因为美国的经济增长率比我国要低得多，而折旧率高于本文对国内的估计。按美国4%的估计，本文估计的数字偏低。住房价值增长率估计偏低，最终计算得到借款人得到的贷款偏于保守。
（四） 其他参数
贷款费用包括发起费、第三方费用、服务费和保险费等。这里以美国为参照，将这些费用分成如下三类。
发起费（λ）：发起费全部由借款人支付，假定其与反向抵押贷款发起时住房资产之比为λ，取λ＝1%；
保险费（ξ）：假定保险费与反向抵押贷款发起时的住房价值之比为ξ，取ξ＝2%；
其他交易费用（τ）：除利率、发起费和保险费之外其他交易费用，如第三方服务费、手续费等，取τ＝3%。
二、反向抵押贷款定价模型
贷款机构发起反向抵押贷款在结束时不仅要收回本金和利息，并能得到合理的利润。这里主要建立一笔支付和终生年金支付的反向抵押贷款的定价模型。
（一） 一笔支付反向抵押贷款
反向抵押贷款最简单的定价模型是一笔支付（Lump Sum，LS），在一个竞争性市场中，本金和利息总值应与预期住房未来销售的现值与之相等。
(二)终生年金反向抵押贷款定价
终生年金计划比一笔支付在计算上要复杂一些，本文假设借款人在（x）岁得到第一笔反向抵押贷款年金（A） ①，n表示借款人得到年金的年数。
三、反向抵押贷款模型模拟及分析
(一)模型数值模拟
t px的计算：取x＝65得到，1p65＝l66l65＝803380818335＝0.981725。
(二)结果分析
将以上计算结果同美国、日本、俄罗斯的数据进行比较（表4）。四国分别以各自的经济条件（通货膨胀、无风险利率等）计算所得。日本是价格指数和住房资产价值呈现负增长，美国的价格指数为一个较小的正值及住房价值增长；中国这两个2.俄罗斯数据来自Robert Buckley（2003），名义利率为8.0%时的值。
从上表分析可得：参与反向抵押贷款的65岁中国老年人所得贷款额居于这四个国家中间，而75、85岁的中国老年人则居于首位，按时价住房以30万元计算，中国65、75、85岁这三个年龄的老年人一笔支付分别能拿到14.6万元、22.2万元和26.1万元，如果以终生年金计算，每年可得1.35万元、3.03万元和6.07万元。相比之美国，75、85岁年龄层次的老年人在一笔支付上差别不算大，但终生年金则差别数倍，故对这些老年人采用终生年金方式比较适宜。
本文在合理假定我国死亡率、利率及住房资产增值率后，建立反向抵押贷款一笔支付和终生年金支付两种定价模型，计算结果表明我国65岁老年人参与反向抵押贷款获得的贷款额与美、日相当，75岁、85岁采用终生年金方式更为适宜。
