摘要 无赎回权的反向抵押贷款产品，是反向抵押贷款的重要形式。
按照支付方式的不同，它又分为一次性总付和定期支付两种基本类型。本文利用保险精算方法，建立了一次性总付产品和终生生存年金的定价模型，并利用我国的有关数据资料，进行了实证分析。结果表明，对于无赎回权的反向抵押贷款，利用保险精算方法进行定价具有可行性和合理性。
关键词 反向抵押贷款 赎回权 保险精算 定价
一、无赎回权反向抵押贷款产品的定价思路
无赎回权的反向抵押贷款，是指申请人或其继承人在屋主死亡、永久搬离或出售抵押房屋之前，无法通过偿清贷款本息后把住房的抵押权赎回的反向抵押贷款形式。在一般情况下，当申请人去世后，住房要由贷款机构收回拍卖，从而变现并获得一定利润。
由于住房的抵押权无法提前赎回，这样贷款期限的时间长短就与申请人的寿命长短密切相关。当申请人的数量达到一定规模后，反向抵押贷款就符合大数定律，寿命长的申请人获得的高出平均数的贷款数额将由寿命短的人来弥补。在这种情况下，可以通过保险精算的方法来对反向抵押贷款进行定价。
从支付方式来看，无赎回权的反向抵押贷款可以分为一次性总付、定期支付、贷款额度等类型。其中一次性总付和定期支付是两种主要形式，其他类型的贷款产品可以看成是这两种形式的组合。因此，无赎回权的反向抵押贷款定价模型，主要包括一次性总付和定期支付两种。
无论是一次性总付还是定期支付，贷款机构只有等借款人去世、永久搬离现住房后，将住房收回并拍卖才能获取收入。理性的借款人一般不会在去世之前，主动搬离住房，将住房交由金融机构处理。因此，本文只考虑借款人去世这一种情况。
对于某一借款人来说，何时去世是不确定的，但作为借款人群体，对于每一个年龄段的人来说，他在此后每一年去世的概率是确定的，可以通过生命表查取。这样，在充分考虑住房未来升值率、贷款成本、贷款利率等因素的前提下，将未来收回的住房价值用死亡率进行加权平均后折现，其和应与住房的初始评估值相等。据此，可以测算出贷款额度或每期支付额度等指标，这就是对无赎回权反向抵押贷款产品进行定价的思路。从理论上讲，此种定价方法可归结为绝对定价法。
二、一次性支付产品的定价模型
（一）产品定价模型的构建
一次性支付是指在申请人与贷款机构签订贷款合同后，贷款机构将贷款总额一次性交付给申请人，之后不再发放贷款。等到申请人去世后，贷款期限结束，贷款机构将住房收回拍卖变现。要通过构建一次性支付产品定价模型，确定贷款利率、贷款发放总额与房价之间的比例关系。
根据上述定义，贷款机构的支出是在期初发放的贷款额，收入是在贷款期限结束时收回住房的拍卖额。但对一个具体的申请人来说，贷款期限的时间长短是不确定的，因为其剩余寿命是不确定的。不过，如果申请人足够多，根据大数定律，申请人在借贷合同签订后每一年的死亡率是确定的。这样贷款机构的收入应该是房屋的未来价值用死亡率进行加权平均。
本文假定参与反向抵押贷款的老年人没有其它以住房为抵押的贷款；借款人为房主一人，没有共同借款人；虽然死亡时间是一个随机过程，为方便起见，假定房主死亡时间是在年初；在屋主死亡后，住房资产随之以市场价格出售，二者之间不存在时间差；贷款的成本费用为房价的一固定比例数。在这些假设下，贷款机构收入的多少主要受贷款利率、房价波动、申请人死亡率的影响。贷款利率可由无风险利率加上贷款机构合理的利润率来确定；房价波动率可通过一定时期内房地产价格指数的波动率来近似表示；申请人死亡率的具体数值可以由新修订的生命表来查取。在一个完全竞争的市场中，贷款机构长期支出款项的现值应与贷款机构最终收入的住房变动净值的现值相等，即：
L Sx＝Σ
T
t＝1（1－α－β－γ）×H0×（1＋g1＋r）t×t qx（1）
上式中，LSx-初始年龄为x 的借款人得到的一次性支付总额（Lump Sum，LS）；x-申请人的初始年龄，也即反向抵押贷款合约开始执行时申请人的年龄，以整数年龄来表示；T-申请人的最大平均余命。根据生命表，人的最大存活年10 9龄为105岁，因此T 的取值为（105－x）岁；α-反向抵押贷款的发起费；β-反向抵押贷款的保险费；γ-反向抵押贷款的其他交易费用，即除利率、发起费和保险费之外的其他交易费用，如第三方服务费、手续费等；H0-反向抵押贷款合约签订时房屋的市场价值；g-住房价值的年均波动率；r-反向抵押贷款年利率，也即包含贷款机构正常利润的年利率；t| qx-年龄为x 岁的申请人在反向抵押贷款合同开始后第t 年内死亡的概率。
（二）参数的测算
1.死亡率
死亡率t| qx 不能从生命表中直接查取，但可利用生命表中给出的不同年龄的死亡概率qx，通过推导出的关系式计算得出。
生命表是根据以往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制的由每个年龄死亡率所组成的汇总表，分为国民生命表和经验生命表。《中国人寿保险业经验生命表（2000－2003）》就是我国最新的经验生命表，本文的死亡率数据也取自该表。
根据生命表的构成和书写习惯，有以下几个重要指标和关系式：
px-生存率，表示x 岁的人在1年后仍生存的概率，即到x＋1岁时仍生存的概率；
qx-死亡率，表示x 岁的人在1年内死亡的概率；
t px-x 岁的人在t 年后仍生存的概率；
t qx-x 岁的人在t 年内死亡的概率；
t| n qx-x岁的人在x＋t岁与x＋t＋n 岁的n年内死亡的概率。如果n＝1，则表示为t| qx，其含义为x岁的人在生存t年后的那一年死亡的概率。
显然，有以下几个等式关系：px＋qx＝1（2）
假定反向抵押贷款合约签订时，借款人的年龄为60岁。是生命表中60岁及以上年龄段男子的死亡率（qx）数据。将表1的数据代入式（6），得 到60岁的人在此后每一年的死亡率值（t｜ qx），其变化趋势如图1示。同理，可得到初始年龄11 0为70岁、80岁的申请者在以后的死亡率（t｜ qx）及变化趋势。
2.住房价值的年均波动率（g）
反向抵押住房的未来价值主要是由两个因素决定的：一是商品住宅新房未来销售价格的变动趋势，用商品住宅新房销售价格年波动率（b）来表示；二是住房的折旧情况，用年折旧率（z）来表示。住房升值的年均波动率（g）应为商品住宅新房销售价格年波动率（b）与年折旧率（z）之差。即g＝b－z（7）
关于商品住宅销售价格年波动率（b）：以我国已有数据进行测算。根据中国人民银行《2004中国房地产金融报告》，从1997年第4季度到2004年第4季度，我国商品住宅销售价格稳中有升，年均增长3.66%，如图2示。本文取b＝3.66%。
关于年折旧率（z）：在我国，住宅的使用寿命为70年。按直线折旧法，地上建筑物的年折旧率为1.43%。但住宅价格包括地上建筑物的价格和土地使用权的购买价格，将土地价格的未来升值部分考虑在内，住宅的年折旧率较低，本文取z＝0.8%。
综合考虑上述两方面因素，住房价值的年均波动率g＝2.86%。
3.利率
本模型将利率分成两种类型：
（1）无风险利率（rf）：表示资金的使用成本。在我国，可以将现行一年期定期存款基准利率2.25%作为无风险利率的衡量标准，即rf＝2.25%。
（2）反向抵押贷款利率（r）：由于反向抵押贷款面临着较大的风险，如未来还款期的不确定、住房资产价值的不确定等。因此，在无风险利率的基础上，加上一定的风险升水成本（本文取2%）和必要的利润率（本文取1%），作为反向抵押贷款利率（r），也即r＝rf＋2%＋1%＝5.25%。
4.其他参数
反向抵押贷款的成本费用主要包括发起费、第三方费用、服务费和保险费等。
本文以美国为参照，将这些费用分成如下三类：
（1）发起费（α）：发起费全部由借款人支付，假定其与反向抵押贷款发起时住房资产之比为α，取α＝1%。
（2）保险费（β）：假定保险费与反向抵押贷款发起时的住房价值之比为β，取β＝2%。
（3）其他交易费用（γ）：除利率、发起费和保险费之外其他交易费用，其他费用，如第三方服务费，手续费等，取γ＝3%。
（三）计算结果及分析
1.计算结果
将上述各有关参数的数值代入公式（1），得到初始年龄为60岁、70岁、80岁的申请人，可从贷款机构获得的一次性支付金额LS60、LS70、LS80。其他年龄的一次性支付总额公式可用相同方法得到。
LS60＝0.6015H0（8）
LS70＝0.6927H0（9）
LS80＝0.7412H0（10）
从以上可以看出，借款人所获得的一次性支付总额与住房的初始市场评估价值成正比例关系，这与前面的定性分析结果是一致的。此外，住房价值变动率、贷款利率、成本费用等因素对支付总额的影响，已经在公式（1）中得到了体现。
2.敏感性分析
下面以初始年龄为60岁的人为例，来分析住房价值变动率（g）、贷款利率（r）的变化对一次性支付总额带来的影响。
（1）住房价值变动率（g）
当住房价值变动率的绝对值增加一个百分点，也即g＝2.86%＋1%＝3.86%，其他参数不变时，一次性支付总额为：LS60＝0.7195H0，它比g＝2.86%时增加了19.6%（相对值）。
当住房价值变动率的绝对值减少一个百分点，也即g＝2.86%－1%＝1.86%，其他参数不变时，一次性支付总额为：LS60＝0.5056H0，它比g＝2.86%时减少了15.9%（相对值）。
由此可见，一次性支付总额对住房价值变动率非常敏感。在实际操作中，较为准确地预测住房价值的未来变化趋势及幅度，对于合理确定贷款额度非常重要。
（2）贷款利率（r）
当贷款利率（r）的绝对值增加一个百分点，也即r＝5.25%＋1%＝6.25%，其他参数不变时，一次性支付总额为：LS60＝0.5084H0，它比r＝5.25%时减少了15.5%（相对值）。
当贷款利率（r）的绝对值减少一个百分点，也即r＝5.25%－1%＝4.25%，其他参数不变时，一次性支付总额为：LS60＝0.7178H0，它比r＝5.25%时增加了19.3%（相对值）。
因此，一次性支付总额对贷款利率也很敏感。在实践中，应根据老年人对支付总额和贷款利率的接受程度，找到支付总额与贷款利率的最佳匹配值。只有这样，才能在借贷双方利益都不受损的前提下，扩大反向抵押贷款的市场份额，使这项业务形成规模。
三、终生生存年金产品的定价模型
（一）产品定价模型的构建
终生生存年金是指在借贷双方签订反向抵押贷款合同后，贷款机构按照固定的时间间隔，将一定数额的贷款支付给申请人，直至申请人死亡为止。在一般情况下，时间间隔为一年或一月。如果时间间隔为一年，则该产品为按年支付的终生生存年金。如果时间间隔为一个月，则该产品为按月支付的终生生存年金。本文以按年支付的终生生存年金为例，来构建反向抵押贷款定价模型。
假设反向抵押贷款合同签订后，贷款机构在每年年初付给房主一笔数额相等的年金，直至房主去世为止，则该产品为期初终生生存年金。在完全竞争的市场11 3中，这些年金的折现值之和应该与一次性总付的金额相等，即：
上式中，Ax-年龄为x 岁的申请人在反向抵押贷款合同开始后每年年初获得的年金金额；t px-年龄为x 岁的申请人在反向抵押贷款合同开始后第t 年内存活的概率；其 余参数的含义与式（1）相同。
（二）参数的测算
参数测算方法与一次总付产品定价模型相同。模型中所需要的存活率（t px）数值，可以根据生命表的死亡率（qx），利用公式（5）计算得出。
（三）计算结果及分析
以60岁、70岁、80岁的申请者为例，将有关参数输入公式（12），可得到每年年初获得的年金金额与住房初始价值的关系式：
A60＝0.0612H0（13）
A70＝0.0705H0（14）
A80＝0.0762H0（15）
由此看出，借款人所获得的年金金额与住房的初始市场评估价值成正比例关系，这与前面的定性分析结果是一致的。此外，住房价值变动率、贷款利率、成本费用等因素对年金金额的影响，已经在公式（12）中得到了体现。敏感性分析结果表明，住房价值变动率（g）、贷款利率（r）对年金金额的影响趋势与一次性支付时相同。
四、结束语
本文首先对无赎回权的反向抵押贷款进行了界定，指出其主要产品包括一次性支付和终生生存年金两种形式，其他形式可看成是这两种产品的组合。其次，利用保险精算的方法，构筑了一次性支付产品和终生生存年金的产品定价模型，建立了一次性支付额度或每年支付额度与住房初始价值的关系式，并利用生命表及其他相关数据，对申请人的死亡率、生存率及模型中的其他参数进行了测算。最后，将有关参数代入模型中，得到了申请人可获得的贷款额度。敏感性分析结果表明，各参数变化对贷款额度的影响与定性分析结果是一致的。
