一、反向抵押贷款支付额度模型构建的一般状况
反向抵押贷款业务中，贷款机构一般以固定支付年金或一次性大额支付的方式预付资金给借款人。如以一次性大额借款的方式进行，借款人需签署一系列信用条款。以总借款额加上利息作为未来的房产价值。合同期限以商定的月数确定或持续到借款人终止保有为止。出售住房、不住在该住所内而将住房出租、提前还贷或共同借款人死亡都导致合同保有期限的终止。一旦借款人对合同期限长度的信息多于可从实际或其他预警中获得的信息时，贷款机构将面临由道德风险带来的支付风险。
贷款机构根据房屋的价值、利率和所有者综合寿命预期给借款人发放贷款，合同到期时回收资金。在美国，联邦住房贷款管理局于1979年允许反向抵押贷款业务的开展。但当时只有少数几家银行提供这项业务，其中还有一些银行是为当地政府运作的。考察20世纪80年代旧金山海滨区的项目中，Weinrobe（1983，1987）指出反向抵押贷款的参与与住房资产净额正相关，与收入在资产净值中的比例负相关。并且，参与人数随年龄的增长而增加，75岁以上的老人更倾向于参与这项业务。Garmett和Guttentag（1984）分析了在布法罗进行的反向抵押贷款研究。
他们发现，住房所有者的年龄和婚姻状况，是决定其是否参与反向抵押贷款业务的两个重要原因，且参与者人数随着年龄的增长和单身家庭的增多而增加。作为反向抵押贷款的借款人，既有收入保证又有出售房产的选择权。这一卖出期权使得房产所有者可按市场价格将住房出售给贷款机构。
反向抵押贷款事项的执行中，每期贷款支付额度的确定是个重大问题。它受利率、通货膨胀率、住房价格波动及老人预期寿命等诸多因素的影响。贷款机构与住房抵押者，在对反向抵押贷款的具体事项予以协商时，需要就相关条款签订协议，以保障双方的合法权益。合约的要点是：①该幢房屋的价值确定；②该反向抵①本文为刘春杰、谭竞、嵇海宝合写。刘春杰，浙江大学经济学院副教授；谭竞、嵇海宝，浙江大学经济学院2003级硕士研究生，主要研究方向为金融保险理论等。本文曾发表在《浙江金融》2004.9期，转摘于这里时作了较大删节。
12 7押住房所有者的预期存活寿命，即指该老年住户在签约售房当时的年龄与预计存活年龄之间的年龄差；③每年应当支付的价款；④利率与费率计算的给付系数。
二、反向抵押贷款支付额度的模型构建
下面以定期支付的反向抵押贷款为例，建立反向抵押贷款支付额度模型：
L＝min（γ，λ）（1）
γ表示住房的评估价值，λ表示贷款限额。对于住房的价格和借款人的收入没有限制。
借款人的最大借款额度为vL，v表示贷款－住房价值比例或限额因子。利率a用来将未来的支付额折现。以h表示住房价格的上涨率，则借款人的当前负债额为v Le（h－a） r，r表示支付次数的限制。
以q（t）来表示t 时刻借款人存活的可能性，则有∫rt＝0q（t）dt＝1（2）
t 时刻的调整支付额为q（t）A（t），即存活可能性和年金之积。用g 反映通货膨胀率对反向抵押贷款支付的影响，使当前的贷款额与一系列反向抵押贷款支付额相等，其现金流条件为：
v Le（h－a） r＝∫rt＝0q（t）A（t）e－（a－g）tdt（3）
其中，（α－g）表示扣除了通货膨胀以后的实际利率。
若反向抵押贷款持续以A 支付，以q表示实际调整系数，则：
v Le（h－a） r＝q∫r
t＝0A（t）e－（a－g）t dt（4）
h表示合同规定的房屋价格增长率，则反向抵押贷款对借款者的支付额为：
A＝［（α－g）v Le（h－a）r／［q（1－e－（a－g） r）］
＝［（a－g）v L］／［qe－hr（ear－egr）］＝bv L（5）
其中，b＝（a－g）／［qe－hr（ear－egr）］（6）
表示反向抵押贷款支付因子。
反向抵押贷款的支付因子依赖于利率a、时期数r、房屋价格增长率h、一般物价增长率g，以及反映借款家庭年龄－性别构成的实际调整参数q。随着参数q 的增加或借款人存活可能性的提高，连续反向抵押贷款额减少。签订反向抵押贷款合同期初时借款人的年龄越大，每期支付额越高。同时，支付因子还随合同签订的实际利率a－g 以及住房价格上涨率h 的提高而增加，贷款期限r 的增加而降低。
1.当期抵押房产的价值。使用磨损引起的房产价值折旧，可以通过住房的物理使用年限或经济使用年限给予确定；宏观因素引起的住房整体系统性的升值贬值，可以通过中房景气指数或当地房地产价值的变动趋势来预期；微观因素引起的某幢住宅的个别非系统性的升值贬值，则应以某地段的状况来测定。
2.利率因素。可以根据当期的国债利率、存贷款利率计算的市场利率予以测定。
3.期数。本项贷款业务的期数确定，应当将其等同于业务开办当时的预期存活寿命。如某老人于65岁时申请反向抵押贷款业务，预期生存寿命还有12年，即以12年作为贷款期数。但这里易于出现问题的是预期生存寿命同实际存活寿命并不完全一样。如果实际存活寿命小于预期生存寿命，当该借款人死亡时，用抵押房产偿还贷款本息后还会有一定的余值，可供其子女继承或做其它处理。当实际存活寿命大于预期生存寿命时，就需考虑反向抵押贷款合同超期的问题。
4.住房价格增长率。影响房产价格波动的因素是较多的：（1）房产本身随使用磨损会发生一定程度的价值贬值，这可以通过计提折旧的形式加以表现；（2）因GDP增长，国民经济大势看好，大量农民进入城市，城 市化进程的加快等宏观因素拉动引起地价升值，并进而使房价升值；（3）住房所在地段的环境美化、绿化、城市规划变更、居民素质提高、生活便利程度改善及交通便利等区位因素影响，促使所在区位的地价和房价升值；（4）国家紧缩贷款或其他负面因素影响使地价和房价的下跌等。房产价值的波动对反向抵押贷款的开展带来了众多不确定因素。
5.一般价格增长率。可用通货膨胀率来表示，由宏观经济运行状况来决定。
6.反映当前合同约束的一般支付因素。如果合同对寿命预期q 作单期调整并将住房价格增长率指数化，则支付因子为：
b＝a／［qe－hr（ear－1）］（7）
HECM对寿命预期作单期调整但不考虑通货膨胀率对年金的影响。它使用住房价格上涨率指数来计算相应的保险溢价。作为实际可调整值的q，给定一天的生存可能性为q（1－Q），Q表示q 的积分。如果对寿命预期不作调整或q＝1，又不考虑房价上涨，则：
b＝a／［（ear－1）］（8）
反向抵押贷款是一种负分期付款或累积型分期付款的贷款方式。对于（8）式，负分期付款安排为：
D（t）＝（eat－1）／（ear－1） D（0）＝0 D（r）＝1（9）
潜在的超期风险决定于负分期还款安排（如（9）式所示）和住房价格变动的关系。如果住房价格是随机的，那么反向抵押贷款的定价要求对住房价格的变化有所反映。对制度性限制的包括产生了定价公式的边际条件。
任何抵押贷款的价格M（r，Y，H，t： θ）是由利率r、借款者收入Y、抵押房产资本H和期限t所决定的，以θ作为合同的结构参数。对于一项反向抵押贷款来说，M 与借款人收入Y 无关。
在有代表性的反向抵押贷款合同中，支付额A＝bv L是确定的。但作为抵押负债用来累积支付的利息率是不确定的，并与市场利率紧密相关。将抵押作为一项资产包含了一定的利率风险。因此：
M（R，Y，H，t： θ）＝M（H，t： θ）（10）
重新拥有住房的利率是以h 为利率的资本收入总和以及从所有者处租金k。
货币资本收入为：
H h＝μ Hdt＋σHdz
μ表示房产价格的平均增长率，σ表示对换位变体dz 的标准差。
期望总返还额为：
μ H＋k H＝R H＋mσ（11）
（这里的m 是房产风险的市场价格，mσ 是风险溢价）。
贷款机构持有反向抵押贷款的费用是：
cM＝RM＋mσaM／aH（12）
这等价于无风险还款的总和rM和风险溢价的总和，包括贷款的住房价格风险影响。对持有反向抵押贷款的回报是现金流支付和资本收入的总和。现金流支付为pM－A。这一支付额通常在还款前大都为负值。以p为利率的提前还款是由于房产出售或最后一个共同借款人死亡而发生。资本收入为：
aM／at＋μ HaM／aH＋（1／2） H2σ2a2M／aH 2
对持有反向抵押贷款的返还额为：
gM＝pM－A＋aM／at＋μHaM／aH＋（1／2） H2σ2a2M／aH 2（13）
由式（11）、（12）、（13）可得持有反向抵押贷款的定价结构和边际条件：
（p－R）M－A＋aM／at＋（k－R）HaM／aH＋（1／2） H2σ2a2M／aH 2＝0（14）
M（H，0）＝0M（H，T）＝v L M（H，t）＞＝0
在r 做出跨期选择的反向抵押贷款的未来价值的冲击性价格为A ［（ear－1）］／a，可作为参数。以t表示续签合同的时间，当前价值的冲击性价格为：
X（t）＝e－at A（ear－1）／a（15）
t 时刻的跨期期权价格为：
P（t）＝max［0，X（t）－M（H，t：θ）］（16）
这一价格由房产价格的随机水平H、分期支付额A、合同规定利率a和时期数r 决定。
