摘要 反向抵押贷款将住房转化为养老期间的现金收益，拓展了解决我国养老保障问题的视野。这一新型金融工具正以其对养老保障可发挥的特殊功用，引起社会的极大关注。但在贷款的具体运营中，有关资产定价或贷款额度的确定上，却有着种种需要研究的话题。本文谨对此以特别的说明与论证。
关键词 反向抵押贷款 以房养老 金融资产定价 贷款额度确定
反向抵押贷款的定价分为两个方面：第一个方面是在给定的期限、借款人年龄、利率等条件下，确定某住房抵押能够得到的贷款数额，根据不同的贷款领取方式，从而确定每期可以得到的贷款数量。对借款人来说，反向抵押贷款本质上是一种收入保证与买进看跌期权（put option）的混合。看跌期权赋予借款人一种权利：
无论贷款额多大，都能在贷款到期时以市场价格把住房出售给贷款人，以偿还贷款。
一、反向抵押贷款定价的一般说明
反向抵押贷款是一种房屋价值贷款，它允许老年人以自有产权的住房为抵押，在继续拥有房产居住权的同时，向业务开办机构申请贷款，将其去世时或一定时期后的房屋价值的全部或部分提前转换为现金，以供目前养老之用。反向抵押贷款在居住期间无需还贷，只需到期后以房屋出售收入来偿还，且最高还款数额以房屋价值为限。
在反向抵押贷款产品定价的具体研究中，包括两方面内容：（1）在给定的期限、假款人年龄、利率，某幢住房的抵押能够得到的贷款数额的确定，根据不同的贷款领取方式，从而确定每期可以得到的贷款数量。（2）对借款人来说，反向抵押贷款本质上是一种收入保证与买进看跌期权（put option）的混合工具。看跌期权赋予借款人一种权利：无论贷款额涨到多大，都能在贷款到期时以市场价格把住房转让给贷款机构用于支付贷款本息。HECM是HUD 保险的一种产品，Fannie Mae 承诺购买所有合格的贷款，并对借款人征收保险费。
根据贷款转移选择权，贷款机构有权把借款人的违约风险转移给FannieMae。随着贷款的分期发放，贷款数额逐渐增加，当贷款数额等于房产价值的临界点（crossover point）时，借款人仍然居住在该住房内，根据前述反向抵押贷款的特点，贷款应继续发放，加之反向抵押贷款不具有追索权，此时贷款的违约风险显现出来。这种违约风险可以通过再保险、证券化的方式进行转移和分散，还需要对可能遇到的各种风险组织定价。
本项金融业务创新的关键是产品的定价问题，只有解决好这一技术性难点才能确保成功。反向抵押贷款的产品定价分为两个方面：一是寿险公司根据成本一收益关系以及市场需求拟定贷款-房产价值比例；二是在给定期限、借款人年龄、利率等条件下，确定某住房反向抵押能够得到的贷款数额，再根据不同的贷款领取方式，确定每期可以得到的贷款数量。
二、贷款数量的确定
老人用自己房产作抵押，能够申请到的贷款数量一般取决于房产价值、贷款利率、借款人年龄三个因素。由于美国现有的反向抵押贷款产品都有贷款限额的限制，不同产品的贷款限额不同，HECM的贷款限额最低，Home keeper 限额稍高，Financial Freedom 最高。定性来看，在贷款限额内，一幢房产能够获得的贷款数量与该房产的价值呈现为正向关系，与贷款利率及借款人年龄是反向关系。除三大决定因素外，贷款期间的通货膨胀情况、房产升值情况对于贷款数额的确定也有相当影响。
首先假定反向抵押贷款借款人的起始贷款的价值为：
L＝min（V，λ）（1）
这里V 是房产的评估价值，λ 为贷款上限。对借款人没有住房价格和收入的限制，他能够借到的最大额为v L，v为贷款与房产的价值比例（loan‐to‐value ratio）或本金限定系数（principal limit factor）。使用利率α把贷款的未来支付额贴现到贷款起始日（origination date），房产价格波动率（升值率）为h，γ为贷款支付次数，借款者债务的现值为v Leh－αγ。借款者在t＝0，时间内收到系列现金支付A（t）。系列现金支付在名义额上不必相等，但可以根据通货膨胀率或根据信用限额一次性支取进行调整。用q（t）代表在t 时间存活的概率，在给定性别－年龄联合分布与共同借款人特点的情况下，借款人的生存概率概率密度应当能满足：
13 2∫γt＝0q（t）dt＝1（2）
在t 时刻经过调整的支付额为q（t）A（t），即生存概率与年金的乘积。用来调整支付数额的通货膨胀率为g。从贷款债务的现值等于系列贷款支付数额的关系中，可得到现金流的条件为：
v Le（h－α）γ＝∫ g（t）A（t）e－（α－g）tdt（3）
这就可以得到每期支付贷款的数额。在有通货膨胀时，应予调整的实际利率水平为（α－g）。如反向抵押贷款的每期支付额都是常数A，且q 是在大多数合同中所采用的经精算调整的统计结果，（3）式可简化为：
v Le（h－α）γ＝qA∫ e－（α－g）t dt（4）
方程（4）考虑了房产价格变动率h和一般物价水平的变动率g。解方程（4）可得到：
A＝［（α－g）v Le（h－α）γ］／［q（1－e－（α－g）γ）］
＝［（α－g）v L］／［qe－hγ（eαγ－egγ）］＝bv L（5）
这里
b＝（α－g）／［qe－hγ（eαγ－egγ）］（6）
将方程（5）中的b＝（α－g）／［qe－hγ（eαγ－egγ）］记为方程（6），则（6）式即为反向抵押贷款的支付系数，它取决于利率、通货膨胀率、贷款期限、房产价格变动率及反映在q（即经过精算调整的家庭生存概率）中的借款人的年龄、家人性别构成等情况。当q 增加时，也就是借款者的预期寿命较长时，可以借到的贷款数额减少。其他条件相同的情况下，借款者的年龄越大可借入的数额就越大。支付系数同实际贷款利率则呈现反比关系（（α－g）／（eαγ－egγ）为减函数）；与房产价格波动率是正比例关系，同贷款期限是反比例关系。
在方程（6）中，通货膨胀率与宏观经济的运行状况是紧密相关，在我们分析特定的宏观经济体中反向抵押贷款的定价时，宏观经济状况可看作为外生变量。同时在美国等国目前推出的反向抵押贷款产品中，许多产品并没有对贷款支付数额进行指数化，从而可将通货膨胀率作为外生变量看待。反向抵押贷款适用的利率水平，一般采用基准利率加盈利的方式计算，并根据利率走势定期予以调整。基准利率是宏观经济形势的指示器，也可以看作为外生变量。反向抵押贷款的期限则由借款人的预期寿命来决定，可长可短是变动的。不确定性因素是房产价格的波动率，这里有必要详细考察房产价格的波动率。
Szymanoski和Edward J．Jr 把房产看作为零息票实物资产。零息票意味着房产没有租金收入，这是一个合理的假设，因为贷款的提供者并没有取得租金。但是收益包括预期的名义价格上涨率μ和用来描述预期通货膨胀率偏离的随机变量σ。微分方程：
dH／H＝μdt＋σdz（7）
描述了几何布朗运动过程。H为房产价值，t为时间，dz是一随机变量，服从标准正态分布。（6）式中h就等于这里的dH／H。假定μ和σ 是常数，对微分方程积分，可以得到与几何布朗运动等价的方程H（t）＝H0eY（t）（8）
方程（8）准确给出了房产的未来价值：H0＝方程初始价值；Y（t）＝μt＋B（t），其中μt＝预期通货膨胀率。B（t）为标准布朗运动或者Wiener 过程，期望为0，标准差为σ t，对于所有的t＞0，标准布朗运动B（t）都是正态分布，H（t）为对数标准正态分布。
Szymanoski和Edward J．Jr认为单个房产的年价格变动率可以视为服从期望为μ、标准差为σ 的正态分布的一个独立观察值。随时间的增加累积的升值率也是服从正态分布的，但期望和标准差分别增加为μt和σt。随着时间t的增加，累积升值率的标准差随之增加。
（6）式是支付因子的一般表达形式，对其施加一定的限制条件就可用来描述业已存在的反向抵押贷款产品。如仅考虑借款人的预期寿命（q）与房产价格波动率（h），不对年金指数化，支付因子b＝α／［qe－hγ（eαγ－1］（9）
HECM就是这种仅考虑借款人寿命，没有对年金进行通货膨胀调整的产品。
而且，HECM应用房产价格波动率来计算违约风险应缴纳的相应保险金。对于经精算调整的q 的一种替代，可以使用在既定时间的存活风险或者存活条件概率q（1－Q），这里Q 为q 的累积概率分布。这种方法的好处是计算支付因子时不必要受限于时间t 的非减少性（对其积分）。
如果不对生存概率进行调整即q＝1并且不考虑房产价值波动，那么支付因子（10）是能够计算年金的远期价值。
b＝α／［（eαγ－1）］（10）
公式（10）中的支付因子和一般抵押贷款完全相同，由于没有考虑精算调整、房产价值波动以及通货膨胀，用处有限。
与传统抵押贷款的分期支付相比，反向抵押贷款是反向分期支付。对（10）式表达的支付方式来说，反向支付的进度可以用下式表示：
D（t）＝（eαt－1）／（eαγ－1）（11）
这里的D（t）为在t 时刻累计已支付贷款所占的比例。
上述定价过程中已经考虑了利率波动、房产价格波动和通货膨胀等风险因素，实践中还需考虑违约风险。在市场完备的情况下，违约风险可通过合同法控制，也可运用再保险、证券化等手段实现转嫁和分散，同时可以通过配置资产和开发金融衍生产品进行对冲，实现控制风险的目的。
三、反向抵押贷款违约风险定价
反向抵押贷款的运营中，会遇到处于某些临界点的违约风险，这依赖于反向抵押贷款的反向支付进度（公式（11）所示）与房产价格的表现之间的关系而定。假定房产价格变动是随机的，对反向抵押贷款定价需要对房产价格变动情况进行详细考察。机构约束为定价模型提供了边界条件。
任意抵押贷款的价格M（r，Y，H，t：θ）由利率r、借款人收入Y、抵押房产价值H和贷款时间t 以及合同的结构参数θ 决定的。对于无追索权的反向抵押贷款，M与借款人的收入Y无关。在一个典型的反向抵押贷款合约中，贷款数额A＝bv L是固定的。但用来计息的利率是可以调整的，并盯住市场利率。把反向抵押贷款视为一种资产，具有有限利率水平r。在此条件下，反向抵押贷款价格决定于随机的房产价格水平，即M（r，Y，t：θ）＝M（H，t：θ）（12）
拥有一套住房的收益是收益率为h的资本利得与由房屋居住所得到的收益率为k的隐性租金之和。资本利得为hH＝μ Hdt＋σHdz，这里的μ 是房产价格的平均升值率，σ为Weiner 过程的dz标准差。期望总收益为：
μ H＋k H＝r H＋mσ（13）
这里的m是住房风险的市场价格，mσ是风险溢价。
贷款机构持有反向抵押贷款的成本是：
cM＝rM＋mσM／H（14）
这个公式类似于收益的无风险回报部分rM 与风险收益部分，包括贷款的房产价格风险效应。持有反向抵押贷款的收益是现金流入和资本利得之和。现金流入是pM－A，为贷款预还比例p 与贷款之积，再减去年金A。贷款支付通常是负现金流入，直到贷款再出售或房产被出售。贷款预还比例是根据住房出售或者最后一个借款人死亡确定的。这里实际上假定没有财务动机（例如再融资），提前归还贷款，这是因为负债的利率是可调整的市场利率。贷款机构收益的另一项是资本利得，对贷款M 全微分，就可以得到资本利得为M／t＋μ HM／H＋（1／2） H2σ22M／H2。
持有反向抵押贷款的总收益为：
gM＝pM－A＋M／t＋μ H M／H＋（1／2） H2σ22M／H2（15）
式（14）的成本与式（15）的收益相等，再利用（13）式，就可以得到持有反向抵押贷款的价格结构与边界条件是：0＝（p－r）M－A＋M／t＋（k－r）H M／H＋（1／2）σ2H22M／H2
M（H，0）＝0
M（H，T）＝vl
M（H，t）≥0
（16）
假设反向抵押贷款在时刻到达“临界点”，此时贷款机构可以把贷款出售出去（也可以不出售），以转移违约风险。“临界点”选择权远期价值履约价格由公式（10）及A＝bv L可得，履约价格的现值为：
X（t）＝eαt A（eαγ－1）／α（17）
t 时刻“临界点”选择权的价格为：
P（t）＝max［0，X（t）－M（H，t：θ）］（18）
这一价格是由房产价值H、房产价格随机变动水平、贷款支付量、利率α 及期限γ 决定的。
假定对借款人没有承保标准的要求以及再保险人不论住房的价值大小都购买贷款合同，那么贷款合同转让期权的价格就不依赖于借款人的收入与住房的价值，而是依赖于合同B（r，t：θ），B（r，t：θ）为年金合同的市场价值。在一个典型的反向抵押贷款合同中，贷款机构对借款人支付固定数额的年金。在期限γ 内，合同利率为α，支付额在预期寿命期间进行调整。固定数额年金的远期价值为v L，是贷款与价值比（loan‐to‐value‐ratio）或本金限定因子v与以α 复利计息的贷款余额L 的乘积。
贷款转让期权能够转移利率风险。贷款机构有权于终止日γ 把贷款以价格vL出售给再保险人。贷款机构可以选择在γ 日之后把贷款出售给再保险人，但最高价格为vL，并且，反向抵押贷款合同的市场价值在利率上升的情况下趋于下降。
反向抵押贷款合同的现金流等于贷款提前归还额减去已支付年金额：pB－A。假定短期利率服从Wiener 过程r＝μt dt＋σr dz，这里的μt 为利率平均上涨率，σr为标准差。转让期权所依赖的合同资产价值满足B／t＋pB－A＝rB－（μr－mσr）B／r－（1／2）r2σ22B／r2，边界条件为B（r，0）＝0与B（r，r）＝v L。由此，就有可能测度固定利率反向抵押贷款的利率风险。反向抵押贷款有两个利率，一个利率用来决定年金，一个用来为贷款计息。几乎所有的反向抵押贷款都采用可调整的利率，因此反向抵押贷款定价对于资产持有人来说是没有利率风险的。以反向抵押贷款合同市场价值为基础资产的转让期权在终结日的价格为：
S（r，γ：θ）＝max（0，v L－B（r，γ：θ））（19）
这里的是再保险人承担利率风险收取的保险费。如果某一时间，已发放贷款数量等于v L，贷款机构将执行转让期权，把贷款出售给再保险人。如果贷款机构13 6希望继续持有非流动的资产，或者二级市场的发展使得反向抵押贷款合同的价值超过保险限额，那么期权将不会被执行。
反向抵押贷款转让期权（式19）为把违约风险从初始贷款机构转移给再保险人提供了一种机制。转让期权具有价值是因为方向抵押贷款合同采用的是浮动利率，而不是因为贷款余额超过房产价值的风险具有价值。违约的基本风险依然存在，这是因为再保险人也有可能具有违约风险。HUD 作为HECM的反向抵押贷款合同的再保险人也是这种再保险机制。
这里从不同角度论证了反向抵押贷款金融产品的定价问题。鉴于这一问题的复杂性，这里只是提出问题并给予一定模型建立的初步探讨，对本问题的深入研究而言还存着很多不足之处，有待众多读者的批评指正。
