用几率波当然很容易解释粒子的衍射实验。所谓粒子发生衍射，其实是粒子的几率波——德布罗意波发生衍射，衍射后的几率波振幅的平方决定了粒子在各处出现的几率密度，几率密度大的地方投射的粒子多，几率密度小的地方投射的粒子也少，只有大量的粒子不管它们是同时被衍射的或者是一个接一个地发生衍射的，最终都应产生相同的衍射图样。若问某个粒子将落到何处，则几率波的描述就不能回答了。所以几率波不能决定某个粒子将在何时何地出现，只能给出几率性的回答。采用几率波的概念，意味着我们认为“微观理论是统计性质的”。它不同于经典力学中对粒子的描述是“决定性的”。
几率波的概念核心是不涉及粒子的结构，当几率波发生变化时，改变的也是粒子在空间各点出现的几率，而不会改变粒子的结构。所以它和粒子性不矛盾。迄今为止，它仍然是一类对物质的波粒二象性所能提供的最好解释。进一步可以对以下描绘的图像加以说明：
（1）经典的波和粒子的概念不能说明波动性与粒子性
在经典物理中，粒子有确定的位置，是定域的；波是弥散的，分布在一定的空间里，是非定域的。二者有许多根本不同之处，不能同时描述一个物体。用经典物理说明波动性与粒子性，只能认为波和粒子二者有一个是基本的，另一个由它组成，若认为波是由大量粒子所组成的，则不能说明为何单个的微观粒子（指大量单个粒子的长时间行为）也有波动性；若认为粒子是由波组成的，则只有波包才能像粒子一样局限在很小的范围内，波包是由不同频率的单色波线性叠加而成的，在媒质中传播时，各种单色波的速度不同，这意味着传播中波包即粒子会逐渐变大甚至消失，这显然是荒唐的，所以经典概念无法解释波粒二象性。
（2）几率波不是经典波
熟知的经典波有机械波和电磁波，机械波是机械振动在媒质中的传播，电磁波是变化的电场和变化的磁场在空间的传播，总之都是某种物理量在空间传播的结果。这些概念来自于经典物理的现象，它们的性质我们比较了解。这两种波也有区别，机械波的传播需要某种媒质，电磁波的传播不需要媒质。
几率波的概念来自于微观粒子的波动性，为了解释微观粒子的干涉和衍射等实验现象，才提出这样一种可以干涉和衍射但又与粒子性互不矛盾的波，干涉和衍射是几率波和经典波的共同之处。
通过与经典物理图像相比较，可得出微观粒子的波粒二象性只是说明微观粒子与经典的粒子和经典的波某些侧面有相似之处，但又与它们有原则区别的结论。
二、测不准关系与普朗克常数
测不准关系：若两个力学量算符的对应关系为时，这两个力学量满足下列关系：，这一关系称为测不准关系。
例：，则。
测不准关系可以有严格的数学证明。微观粒子具有明显的波动与宏观粒子无明显波动的特点形成了鲜明的对照。这其中普朗克常数起了重要的作用，下面的例子可以说明这一点。
例：在奇特的量子田地里，其中。瓜的直径近似为20cm，且含有质量约0.1g的种子。问：当我们切开量子田地里长熟的瓜时，是一幅怎样的图像呢？在628nm波长光子的反射下瓜的反冲是多大
《离散数学》教学中的几种方法
顾小丰
【摘要】《离散数学》是计算机科学中基础理论的核心课程，也是学生在今后的理论研究与工作实践中一项重要的基本功，但在教学实践中，笔者发现学生对这门课的掌握程度不太令人满意，存在诸多问题。笔者利用4种方法初步探讨了《离散数学》教学中的规律，希望能通过这些方法来提高教学质量，使学生将理论知识和应用实践有机地结合起来，启发学生的思维，拓宽学生的视野。
【关键词】离散数学示例法类比法归纳法按定义证明法
与西方发达国家相比，我国传统教育的着眼点是传授知识，它能让学生对所学过的课程打下扎实的基础，但它致命的弱点是培养的学生创造性差。
传统的教学思想过分重视演绎法，演绎法虽然有利于学习已有的知识，但它注重繁琐的理论证明和局部的解题技巧，学生只能得到一些基本理论，而不能指导学生去发现、去创新。因此，在教学过程中，要让学生通过对各种现象的观察、分析，在演绎的基础上进行示例、类比、归纳，去发现问题、研究问题、解决问题。
当今社会，计算机已广泛应用在社会的各个领域，急需各种各样的软件资源，需要计算机专业的学生具有扎实的专业基础，才能适应未来的需要。《离散数学》是计算机科学中基础理论的核心课程，它不仅是许多计算机专业课，如《数据结构》、《操作系统》、《编译原理》、《数据库原理》、《人工智能》、《形式语言与自动机》和《数字逻辑》的必备基础，而且通过该课程的学习，不仅培养学生对其知识的掌握，而且更重要的是培养学生的抽象思维、逻辑推理和缜密概括的能力。因此，对于计算机专业的学生来说，学好《离散数学》这门课是非常重要的事情。目前，很多计算机专业毕业的学生，不能很快走上科学研究的轨道，这与他的《离散数学》基础学得不够扎实、理解得不够透彻有着密切的关系。因此，对于计算机专业的学生来说，学好《离散数学》这门课是至关重要的。
然而，由于《离散数学》课理论性强、抽象内容多，教师难教、学生难学的现象普遍存在，正因为这个难度，使其成为一门培养素质与创造能力的好课程，可以通过有效的知识传授达到培养素质的目的。
下面就作者自身对《离散数学》的教学体会，简单说明示例法、类比法、归纳法和按定义证明法的运用。
一、示例法
在着重形式推理的演绎法中，也有举例说明，但作为一种教学方法的运用，可见其重要性，因为一个好的示例，不仅可以打开思想，而对理解一种数学方法，准确理解理论的含义，会起到意想不到的效果。
例如在讲述图的同构定义时，举了以下例题：
例1 如图1所示的图中，求出图（a）的同构图。
（a）与（b）节点数不同、边数不同，不同构；
（a）与（c）节点数相同，但边数不同，不同构；
（a）与（d）节点数相同、边数相同，但节点间不一一对应，不同构；
（a）与（e）节点间一一对应，同构（如图1所示各节点标上序号后就不难得出结论）。
该例题能使学生准确理解图同构的意义，且进一步认识到图的同构不求表面形式，而在于一一对应的实质。
二、类比法
这种方法往往是用旧的知识、熟悉的知识去类比新的、不熟悉的问题，以达到尽快了解、掌握的目的。类比不一定要用数学知识去类比，有时用非数学知识类比会起到意想不到的效果，如一般教科书上用家属关系类比外向树等。
在讲传递关系时，学生对空关系是传递的难以理解，在教学中采用生活中的知识来类比。
传递定义：设集合X上的关系R，对任意x，y，z∈X，如果有（x，y）∈R且（y，z）∈R，则必有（x，z）∈R，则称R是传递的。
定义的难点在于对“如果有……且……，则必有……”关键词的理解。这里，用了这样一个问题来类比：
在准备乘火车的乘客中，如果有易爆物品，且随身带在行李中，则必须交给车站，就可以上车。
空关系表示某乘客没有易爆物品，当然是可以上车的。
类推某乘客，如果有易爆物品，但未随身带在行李中，则亦可上车，对于另一类符合传递定义的关系也解释清楚了。
再类推非传递的概念：某乘客有易爆物品，且随身带在行李中，但他不肯交出来，则不可以上车。即（x，y）∈R且（y，z）∈R，但（x，z）R，则称R是非传递的。
类比也可以用于章节之间，例如学习群论，就用关系类比它们知识的展开过程，比较整章节知识的结构，发现它们有许多相似之处，都是按照以下主线串在一起的：基本概念——基本性质——符合某些性质的特殊情况——两个以上关系（代数系统）之间的关系。
这种类比，可以克服学习时抓不住要领、抓不住边际的盲目的心理状态，由于抓住了主线，心里有底，对学好整章知识很有利。实际上，数学课程中许多章节都是按照这4个层次展开的。
三、归纳法
归纳法不应是对知识简单的罗列，而是对知识的层次进行分解，如何从简单到复杂、从一般到特殊、从核心概念向外辐射及与其他章节知识的交叉形成一个系统。要使学生在归纳中掌握思维方法和数学思想，掌握学习的规律性，清楚了解知识的构成和重点。
例如，笔者对“关系”一篇在教学中进行了认真的归纳：
第一层：基础概念，是关系的定义、运算和性质，这是核心；
第二层：闭包运算、偏序关系、拟序关系、等价关系，是特殊的、复杂的运算和关系，它们具有特殊性质；
第三层：函数，是讨论关系前域和后域元素间的关系；
第四层：关系的应用。
然后归纳各层之间的联系。
这一篇的归纳很重要，它为在“群论”一章进行类比打下基础。对于一些内容少的章节，可以让学生进行归纳。特别强调说明，自学能力强是素质高的一个表现，因为毕业后的三五年是更重要的学习阶段。学生为了适应工作的需要，要吸收许多新的知识，这个时候主要靠自学。在教学中，有意识地指导学生自学某些章节是有益的。
四、按定义证明方法
在二元关系中，除了对一个具体的关系判断它具有哪些性质外，更多的是针对一个抽象的关系，利用它的特点来证明它具有某个性质。由于关系性质的定义全部都是按“如果……那么……则称……”来描述的，因此，在证明时，不能采用一般的证明方法，而应采用《离散数学》中特有的按定义证明方法，即证明时，首先叙述定义的前半部分“如果……”，将这部分的内容称为“附加的已知条件”，此时利用该“附加的已知条件”和题目本身所给的已知条件证明出定义的后半部分“那么……”，这部分的内容称为定义中的结论。这种证明问题的方法在于：证明时不能单纯利用题目所给的已知条件，而应同时利用定义中的“已知”，推出的并非整个定义，而是定义中的结论。这与一般的证明思路“已知中间结果结论”是完全不同的。另外，由于关系是特殊的集合，当用集合的手段来描述关系的性质时，其证明的方法也是按集合中的按定义证明方法来证。例如，证明R在集合A上是传递的方法为：
“任取a，b，c∈A，假设，∈R，…，∈R”
证明R在集合A上是对称的方法为：
“任取a，b，c∈A，假设，…，∈R”
上面的“…”表示利用已知条件和假设内容而得到的中间结果。下面以例子说明其证明过程。
例2设R是非空集合A上的一个传递关系和自反关系，S是A上的一个关系，使得对任意a，b∈A，∈S当且仅当∈R且∈R，试证明S是A上的一个等价关系。
证明：（1）对任意a∈A，因R是自反的，所以∈R，由∈R并且∈R，有∈S，即S是自反的。
（2）对任意a，b∈A，若∈S，则由已知条件有：∈R并且∈R，即有：∈R并且∈R，所以有：∈S，即S是对称的。
（3）对任意a，b，c∈A，若∈S，∈S，则由已知条件有：∈R并且∈R和∈R并且∈R。
因为R是传递的，所以由∈R并且∈R得∈R，由∈R并且∈R得∈R。
由∈R并且∈R得∈S，即S是传递的。
由（1）、（2）、（3）知，S是A上的一个等价关系。
五、结束语
由于计算机科学的飞速发展，而在计算机科学中又普遍采用了离散数学的基本概念、基本思想和基本方法，并把离散数学作为自己的理论基础和重要的数学工具，同时，它又不断地向离散数学提出一些新课题，这就需要教师密切注意计算机科学发展的新动向，不断地追踪和接受新科技，处理好基础知识与新科技的关系，在教学中有的放矢地向学生进行传授，从而培养学生的主动精神和追踪新科技的能力，以适应计算机科学发展的需要。
关于《离散数学》前言课的教学
张先迪章毅
【摘要】本文论述了上好前言课的重要性。依据作者从事《离散数学》课的教学经验，从“为什么学”、“学什么”、“怎样学”等几个方面讨论了上好《离散数学》前言课的一些方法。
