【关键词】前言课离散数学教学方法
《离散数学》是现代科学的一个重要分支，它是计算机类各专业的一门必修课，是计算机科学中基础理论的核心课程，对该课程学习的好坏直接影响到计算机科学中多门后继课程的学习，关系到高素质人才培养目标的实现。作为讲授该课程的教师，如何上好《离散数学》课，这实实在在是一个值得关注的问题。实践证明，和其他课程一样，在众多的教学环节中，前言课的教学是十分重要的，但往往又是容易被忽略的。实际上，在教学活动开展之前向学生讲清楚为什么学、学什么、如何学以及课程的目标是什么等问题，才有利于使学生明确学习该课程的意义，粗略地了解全书的梗概，明确学习的方法，从而激发学生的学习积极性，提高教学效果。
所谓教学前言课，是指在教学内容学习之前所讲授的有关课程学习的课，即第一节课。在前言课的教学中，可利用学生对新课程的好奇心理，采用设问制、设置悬念、旁敲侧击式的教学思路，引导学生感受、体验和品味学习该课程的重要性。从方法论的角度引导学生对该课程有一个准确的定位，从而变要我学为我要学，提高学习该课程的兴趣。这可为后面教学内容的学习酿造一个良好的心理教学环境，使学生能在轻松愉悦的氛围中，有条不紊地被引导进入对教材内容的学习。前言课处理得当通常会取得事半功倍的教学效果。那么具体地对《离散数学》，如何上好该课程的前言课呢？下面就从前言课主要应讲授的为什么学、学什么、怎样学等几个方面讨论这个问题。
一、为什么要学习《离散数学》课
讲授为什么要学习《离散数学》课，实际上就是讲授该课程的重要性。《离散数学》是计算机专业的核心课、必修课，是学习后继课程的基础课，这些都是该课程的重要性。但直接强调“核心课”、“必修课”，学生会感到枯燥，而对“后继课”学生未接触也无感受。那么如何才能使学生真正能感觉到该课程的重要性呢？这可以从下面两个方面间接强调《离散数学》的重要性：一是先简单介绍一下什么是连续量，什么是离散量，然后向学生提问：“计算机处理的量是连续量还是离散量？”学生自然会回答“离散量”。这就很自然地将学生的思想引导到了《离散数学》是计算机专业的核心课的思路上去。二是举一些与《离散数学》有关的实例，如全国数学模型竞赛中有关离散模型的例子。其中1994年的两个建模问题“逢山开路”和“锁具装箱”以及1998年的建模问题“灾情巡视路线”，都是很好的例子。通过实例可使学生感受到《离散数学》在处理实际问题中的作用。
进一步，从更高的角度看，《离散数学》是数学的重要组成部分，所以《离散数学》的重要性还可以从数学的重要性方面加以阐述。特别地，可以简单地介绍一些涉及数学的新理念。例如，素质教育新理念对数学课程的阐述指出：数学是人类生活的工具；数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学是一种文化，而且是人类文明主要的文化力量。即涉及数学的活动已被作为一项人类活动来对待。
当前，计算机已相当普及，作为计算机科学基础的《离散数学》当然不可能不普及、不发展。与对计算机的学习一样，人人都学一点《离散数学》，人人都能学《离散数学》，不同的人在对《离散数学》的学习中都能得到不同的发展。换言之，选修了该课程的同学无论对自己今后的定位是应用型、研究型还是进一步深造型，尽力地学好《离散数学》都是能受益的。
二、《离散数学》学些什么
至于学什么，实际上是对《离散数学》的内容作简介。现代教育理论强调，学生不仅要掌握每个具体的知识点，而且要懂得知识之间的内在联系，把掌握的知识形成网络，因此在教学中要重视引导学生建立该学科的知识体系。体系的建立有一个前呼后应的过程，“前呼”可在前言课中进行，在前言课中，对课程的内容提示一个梗概；“后应”是学生学完全书后的理解、总结过程。若通过这样的前后呼应再加之教师的引导，学生是能较好地掌握该课程的知识体系的。
《离散数学》主要是由数理逻辑、集合论、代数系统和图论四部分组成的。对这四部分的简介可结合《离散数学》中许多耐人寻味的、带有趣味性的实例来进行。实践表明，带有趣味性的实例既能增加讲授的生动性，又容易激发起学生学习该课程的兴趣。下面是一些供选择的实例：
（1）哥尼斯堡七桥问题、哈密尔顿周游世界问题、四色问题、中国邮路问题以及拉母齐问题。前4个问题可在文献［1］中找到，后一个问题见文献［2］。
（2）高次方程的求解问题［1］，即利用群论证明了一般形式的5次以及5次以上的代数方程无解。
（3）三大几何作图难题，即利用群论先后证明了“三等分任意角”、“化圆为方”以及“倍立方”这三大几何作图难题均无解。
（4）一些悖论的例子，如罗素悖论（或称集合论悖论）、第三次数学危机［3］、理发师悖论等。
（5）历史上利用推理得出一些重要结果的例子。如化学中门捷列夫对元素周期表的构造；物理学中利用简单的推理证明“物体下落的速度与质量无关”的过程。众所周知，物体下落的速度是与质量无关的。这一结果的实验证明是在意大利的比萨斜塔上进行的，这也是人们所熟知的。但是其中一个漂亮的理论证明知道的人并不多。这个证明并未用到高深的物理知识，只用了一个反证法。证明过程是这样的：假如速度与质量有关：大的快，小的慢。那么，我们取一个大质量的物体A和一个小质量的物体B，则两个物体下落时A快B慢。现将A与B捆绑在一起（设为C）让其自由下落。此时C的速度因其质量在A、B、C中最大，故应最快。但分解来看，因A快B慢，故在下落的过程中B在后A在前。因而A和B绑在一起下落，B会牵制A，故C的速度应介于A与B之间。这样出现矛盾，因而速度与质量无关。
以上所列出的实例，基本上每个都有一则小故事，选用这些实例可增加讲解的生动性，容易激发学生的兴趣。特别地，若能将这些实例制作成图文并茂的多媒体课件，采用多媒体教学，这不仅能增加实例的生动性，而且还能包含更多的信息量，效果更好。
三、如何学习《离散数学》
至于如何学习《离散数学》的问题，除了强调培养学生的数学思维能力、多作练习这些数学课的共性外，还应让学生注重两个问题：一是因为《离散数学》是由数学的几个分支组成的，彼此之间联系不大，这一章出现的概念、定理下一章就不再出现，因此应加强概念的理解记忆并且必须刻意去记。而其他数学课，如《高等数学》，有些概念从第一章用到最后一章，学生容易掌握，不必在记忆上花过多时间。二是《离散数学》的有些内容如代数系统部分较为抽象，因而应使学生有一个思想准备。
在如何学的问题上，还有一点经验值得一提的是，在前言课中注意要求和引导学生用自然语言或模糊语言来解释、描述和复述一些抽象的概念。数学中的定义、定理和概念多数是用数学语言表述的，从形式上看有些甚至就是一串符号，尽管十分严密、精确，但较为抽象，对还未完全建立起数学思想的学生来说理解是困难的。若教师也完全用数学语言讲解，不管讲得多清楚，有些学生还是理解不透。但若结合自然语言或举一些日常生活的例子来解释、来描述、甚至复述这些概念，学生就很容易理解，尽管日常语言并不十分严密，往往还带有模糊性，但效果却很好。这是因为从理论上看人们的思维往往带有模糊性，对模糊的概念有时反而容易理解。过于精确反而模糊，适当模糊反而精确，这是辩证的统一。从教学实践上看，适当地使用模糊语言的效果也较好。实际上很多教师在课堂上有时也在自觉或不自觉地使用模糊语言，只不过未给予总结而已。下面给出两个这方面的例子，期望从这些例子中能得出一点启示。
《离散数学》中关于偏序集中极小元的定义，书中是这样描述的：设是偏序集，，如果，使得成立，则称y为B的极小元。定义中“”学生难以理解。但如果再给极小元补充一个解释：“B的极小元y是指B中没有比y‘小’的元，即B中其余元要么比y‘大’，要么与y不可比。”学生就容易理解。尽管其中的“大”和“小”是两个模糊概念，因为定义中的“≤”并不是普通意义的小于等于，而是一个偏序关系。
《离散数学》中关于传递闭包的定义，书中是这样描述的：设R是非空集合A上的传递关系，R的传递闭包是A上关系且满足下列条件：（1）是传递的；（2）；（3）对A上的任何包含R的传递关系都有。一般将R的传递闭包记为t（R）。此定义较长且第（3）条不易理解，但如果将传递闭包“定义”为：R的传递闭包t（R）是指包含R的具有传递性的最小关系，则易于理解，尽管“最小关系”带有模糊性。
实践表明在数学活动中适当应用模糊语言对理解一些概念、术语和定理的实质是很有帮助的，所以对学生提出这样的要求也是必要的。教师可以在前言课的教学中对所涉及的一些概念、术语作出一些示范，效果将会更好。
以上我们论述了上好前言课的重要性，并依据笔者从事《离散数学》的教学经验，从为什么学、学什么、怎样学等几个方面讨论了如何上好该课程的前言课。当然如何上好前言课，还有需要进一步讨论的问题，如学习的目标问题、对教师本身素质的要求问题等。
最后值得一提的是，本文虽是针对《离散数学》课的前言课的教学探讨，但其中所提出的一些问题、观点和方法对其他数学课的前言课的教学是否有帮助也是值得探讨的。
抓住联系学好《离散数学》
王庆先傅彦尚明生
【摘要】《离散数学》是计算机专业的一门专业基础课程，对计算机科学的深入学习和研究具有重要作用。但是庞杂的知识结构加大了教师教和学生学的难度。本文分析了《离散数学》教材各部分内容间的联系，并探讨了《离散数学》的教学方法。
【关键词】离散数学课程教学联系
《离散数学》是现代数学的一个重要分支，形成于20世纪70年代初，是计算机专业开设的一门专业基础课程。它充分地描述了计算机科学离散性的特点，为后继课程如《数据结构》、《编译原理》、《数据库原理》、《信息安全》、《算法分析》等课程提供必要的数学基础。
《离散数学》教材通常都包括集合论、数理逻辑、图论和抽象代数等4个部分。这4个部分是相对独立的，每一部分内容都可以作为一个数学分支进行深入的研究。因此，《离散数学》具有内容杂、概念多的特点，从而老师觉得难教，学生觉得难学。但是，如果我们从下面几个方面进行教学和学习，学好《离散数学》是容易的。
一、《离散数学》各部分内容间的联系
虽然《离散数学》的内容是由4个独立的子部分组成的，但是各部分之间又存在必然的联系。下面从4个方面讨论《离散数学》内容之间的联系：
1.集合论知识贯穿始终
通常，集合（SET）是指“在一定范围内讨论的所有对象组成的所有整体”，其中的对象称为这个集合的“成员”或“元素”（ELEMENT）。根据所给的属性，我们总能判断任意一个事物是否属于某个集合，而不会含糊不清。例如，自然数的全体、全体英文字母、所有C语言中的标志符就是3个不同的集合，任意给定一个对象如字母A，它属于全体英文字母的集合，而不属于另外两个集合。
2.图论与各部分的联系
图以其直观性、具体性特点帮助学生对知识进行理解。由前面我们知道，图的定义是直接建立在集合论基础之上的，图论与其他部分的联系在下面进行阐述。
（1）图论与数理逻辑的关系
从图论的观点来看，每一个命题公式可以用一棵“树”来表示，其中“树”中的“节点”与连接词对应，而“树叶”则对应于原子命题变元。例如，在命题公式（P∧（Q∨R））→（Q∧（┐S∨R））中，P、Q、R和S就是树叶，而连接词“∧”、“∨”“→”、“┐”等就是树中的节点。
（2）图论与二元关系的联系
利用得到的有向图就可以容易地判断给定二元关系的性质。
例如，如果图中每个节点有自环，则该关系有自反性；如果每个节点没有自环，则该关系有反自反性；如果图中任两个节点要么有方向相反的两条边相连，要么没有边相连，则该关系具有对称性；如果图中任何一对节点之间至多只有一条边，则该关系具有反对称性。同样可以利用得到的图判断传递性。
另外，在讲解偏序关系性质时，根据偏序关系的性质，得到哈斯图（无向图），而利用对应的哈斯图，可以有效找到其中的特殊元素。
（3）图论与代数系统的联系
在代数系统的“格与布尔代数”部分，格的定义有两种：一种是利用偏序关系定义；而另一种则是利用数理逻辑里的析取、合取运算来定义。利用图（哈斯图），又可有效地判定格的分类。
