引子
在德国数学家高斯的一部传记中，作者引用了下面这段话：
有一个异乡人在巴黎问当地人，“为什么贵国历史上出了那么多伟大的数学家？”
巴黎人回答，“我们最优秀的人学习数学。”
又去问法国数学家，“为什么贵国的数学一直享誉世界呢？”
数学家回答，“数学是我们传统文化中最优秀的部分。”
笛卡尔以前的法国数学
在中世纪以前，数学的成就主要是在一些文明古国取得的，例如埃及、美索不达米亚，中国、印度，当然还有希腊。可以肯定的是，如果没有希腊人的贡献，数学就不会像现在这样丰富多彩。而在长达一千多年的中世纪里，整个欧洲似乎只有一个堪称伟大的数学家——菲波那契，以他名字命名的兔子序列至今仍在数学王国里发出光辉。欧洲之外，最有名的数学家当数巴格达的花拉子密，正是他命名了代数学，在阿拉伯语里，al-jabr意为还原移项，译成拉丁文后就成了algebra，这也是今天英文里的代数学。
十四世纪是欧洲黑死病流行的时期，毁灭了将近四分之一的人口，数学上取得的成绩也非常可怜。但疾病和战争有时候会改变文明的格局，法兰西开始崭露头角，逐渐走在世界文明的前列。这个世纪最重要的数学家被认为是法国人奥雷斯姆（Oresme），他出生在诺曼底，是天主教会的主教，同时又是亚里士多德著作的法文翻译，中世纪最伟大的经济学家。他写过五部数学书，和他的译文一样文笔优美，为科学修辞和法国散文作出了贡献。奥雷斯姆第一个使用了分数指数，第一个用坐标确定了点的位置，这预示了现代坐标几何学，影响了包括笛卡尔在内的诸多数学家。
十五世纪开始了欧洲的文艺复兴，随着拜占廷帝国的瓦解（君士坦丁堡在1453年落入土耳其人之手），难民们带着希腊文化的财富流入意大利。奥登堡发明了活字印刷，印刷术得到了改进。在这个世纪的尾末，哥伦布到达了美洲，不久，麦哲伦完成了环球航行。可是，数学进展仍然不大，十五世纪最杰出的数学家是法国人丘凯（Chuquet），他出生在巴黎，在里昂生活和行医。丘凯率先考虑了负的整数指数，他的名著《算术三编》讨论了这样三个问题，有理数的计算、无理数的计算和方程论。他还提出了均值法则：如果A、B、C、D都是正数，则处于与之间。
十六世纪最有影响的数学家也是法国人，他的名字叫韦达（Viete）。韦达出生在法国中部的普瓦捷（许多年以后笛卡尔也在这座城市上了大学）。韦达是个律师和议员，却像后来的费尔马一样，把绝大部分闲暇奉献给了数学。韦达的数学成就今天大多为我们所能理解，如中学数学里确立一元二次方程根和系数的关系的韦达定理（对三次方程他也有天才的贡献），三角学中的半角公式，更为难得的是，他还是第一个提出代数系统符号化的人。韦达倡导用辅音字母表示已知数，元音字母表示未知数。后来被笛卡尔的想法所取代，后者用拉丁字母的开头几个(a，b，c)表示已知数，尾末几个(x，y，z)表示未知数。
从以上事实我们可以看出，法国人的数学在文艺复兴之初已达到世界先进水平。正是在那个时期，（现今的）初等数学基本上羽翼丰满了。同时，这也为近代数学和科学的全面发展奠定了相对坚实的基础。虽然如此，那时候欧洲政治、经济、艺术和科学的中心仍然是在亚平宁半岛。
笛卡尔与天才的世纪
在笛卡尔出生以前，意大利人在世界文明的进程中走在最前列，尤其在文学、艺术领域最为突出。他们在数学和科学领域稍逊，但仍处于领先地位，塔尔塔里亚（口吃者）、卡尔达诺和费拉里在三次和四次方程的解法研究上取得了突破，他们每个人的成就都不低于同时代的法国人韦达。可是，这几位数学家却缺乏一种必要的包容和涵养，而后来的伽利略则饱受罗马教会的迫害。塔尔塔里亚指责后两位同胞数学家剽窃，结果闹得满城风雨。伽利略一直在意大利的两所大学任数学教授，他发明的扇形圆规通用了两个世纪，同时对抛物线性质和无限集的等价概念有了正确的理解，他的数学天才和直觉帮助其建立起了自由落体的力学定律。他用自制望远镜观察宇宙，证实了哥白尼的太阳系理论，却不幸遭到宗教裁判所的审判，最后含冤而死。
据说伽利略是在比萨斜塔做实验时发现自由落体定律的，他任比萨大学数学教授时年方25岁，两年后就离开了，后来到了威尼斯附近的帕多瓦大学。他第一次听说荷兰人发明望远镜是在1607年，他已经43岁，之后才自己动手制作望远镜，观察天象，他发表支持哥白尼理论的著作是在1630年，那年他66岁。也就是说，伽利略的两大科学发现相隔了差不多有四十年。正是在这期间，法国诞生了多位数学天才，如德沙格尔、笛卡尔、费尔马、帕斯卡尔，法国数学全面超越了意大利。英国哲学家兼数学家怀特海称十七世纪是天才的世纪，其中以法国人所做的贡献最多。德沙格尔率先建立了射影几何学，但他的光芒不久就被年轻三岁的笛卡尔给掩盖了。
和大多数天才人物一样，笛卡尔也出生在小地方。他小时母亲病故，身体赢弱，已另娶妻的父亲把他交给外婆抚养，后来又送他进拉弗莱什的一所教会学校。幸亏校长极有人文修养，看出这个孩子心智和身体上的差异，要他先增强体质。校长告诉小笛卡尔，除非想去教室和别的同学们在一起，否则不必离开自己的房间。从那以后，笛卡尔终身保持了晚起的习惯，包括他在部队当兵时，当他需要思考问题时，就躺在床上冥思苦想。笛卡尔后来回忆，那些在冥思中度过的漫长而安静的早晨，是他的哲学和数学思想的真正来源。据说，他是在床上看见天花板上苍蝇的运动才发明坐标系的。值得一提的是，尽管笛卡尔身体虚弱并爱睡懒觉，却是个勇敢的军人，并曾被授予中将军衔，但被他拒绝了。
笛卡尔是将哲学思想从经院哲学的束缚里解放出来的第一人，被黑格尔誉为“近代哲学之父”。在此以前，亚里士多德的著作是通用的哲学教材，这些著作强调规范化的逻辑论证。基督教借此展示神学思想与理性之间的一致性，并使神示内容与亚里士多德的世俗知识相协调。没想到的是，到了十六世纪后期，理性越来越独立于宗教，哲学渐渐将自己从神学中分离出来。与此同时，欧洲变得富有起来了，出现了新兴的中产阶级。而随着意大利文艺复兴的到来，人们逐渐熟知古希腊的诗史、戏剧和历史，整个欧洲呈现出一种清新的氛围，并充满了对学习知识的热切渴望。可以说，革命性变革的条件已经成熟了。
虽然英国哲学家培根更早反对基于权威的论证，但他本人并非科学家，甚至也不了解当时的科学进展，只是提出“知识就是力量”的口号。无疑笛卡尔率先认识到了，亚里士多德的三段论只是在推导已知结论时才有用，而不能用以发现或创新。可是，由于害怕教会和政院哲学的威权，尤其是1633年，伽利略受讯入狱的消息从罗马传来，笛卡尔再也不敢公开自己的发现。他在给梅森神甫的信中写到，“这一事件影响了我，几乎使我焚毁了所有手稿，或者至少不再向任何人出示它们。”四年以后，局势有所缓和，加上出于对费尔马抢先发表相关成果的担心，笛卡尔将他的《几何学》作为其哲学著作《方法论》的附录三悄然付印。正是在这个附录里，笛卡尔创立了一门崭新的数学分支——解析几何。
在笛卡尔时代，他在数学上有好几位竞争对手。例如，毕生居住在法国南方山区小城图卢兹的法官费尔马，他有着“业余数学家之王”的美号。今天我们大家都知道“费尔马大定理”，它是毕达哥拉斯定理（即勾股定理）的推广和提升，虽然结论截然相反。直到上个世纪末，这个定理才被英国数学家怀尔斯最后证明了。据说在笛卡尔生前，他经常接到费尔马的挑战，例如宣布发现某某数学规律却不告之证明方法，这些挑战有的是以书面的形式提出，有的是通过那个叫梅森的神甫传达。说起梅森神甫，虽然算不上是伟大的数学家（仅以梅森素数留名），却是十七世纪法国数学不可或缺的人物。
梅森神甫经常乘自己外出布道的机会，到各地秘密会见数学家，并传达各种最新的数学成果或发现。另一方面，他又在巴黎举办每周一次的数学沙龙，参加这个沙龙的人当中就有一对叫帕斯卡尔的父子。那时候巴黎还没有科学院之类的组织，梅森神甫的沙龙后来成为法国科学院的雏形。老帕斯卡尔是个地方税务局的官员，业余研究数学并发现了帕斯卡尔螺线；小帕斯卡尔的主要数学成就包括概率论的创立（与费尔马合作）、二项式系数和射影几何学中的帕斯卡尔定理（圆锥曲线的内接六边形三组对边的交点共线），等等。
除了数学上的成就以外，帕斯卡尔还发明了计算机（初衷是为了帮助父亲进行税务方面的计算）、流体压力定律（水压机便是这个定律的一个应用），计算机中的帕斯卡尔语言和天气预报中的大气压强单位帕均取自他的姓名。而在人文和哲学领域，帕斯卡尔的成就同样非凡。他的散文作品《思想录》被公认为是所有法国文学中的珍品，在宗教方面，他宣扬可以通过心灵而不是通过理性来体验上帝的教义，他建立的直觉主义原理对于后来的卢梭、实用主义和存在主义哲学家都有影响。在达到盛名之后，帕斯卡尔与笛卡尔一样选择了隐居生活，他们的创造力一直持续到暮年。
相比笛卡尔和帕斯卡尔的多才多艺，费尔马把自己的聪明才智主要奉献给了数论。这不等于说他在其他领域没有卓越的贡献，而是他自己不怎么看重。一方面，费尔马有着自己的职业、需要养家糊口，因而没有太多的精力。另一方面（我认为更重要），费尔马与后来的欧拉、高斯这两位对数论有着最杰出贡献的数学家一样，已经从数学之美中获得了满足，因此不怎么需要寻求诸如艺术、哲学或宗教的滋养。事实上，从毕达哥拉斯时代起就不断有人沉湎于发现数的神秘关系。对他们来说，数学的美在于，有理数（整数和分数）能解释一切自然现象。在这种哲学观的引导下，长期以来毕达哥拉斯学派对无理数的存在视而不见就不足为奇了。
