自从费尔马于1665年去世后，法国数学界有半个世纪的沉寂，之后从1820年代开始，接连诞生了一批数学大师，几乎每隔七、八年就有一位，依次是克雷罗、达朗贝尔、兰伯特、拉格朗日、拉普拉斯、勒让德、蒙日、卡诺、傅立叶、泊松、柯西、蓬斯莱、伽罗瓦，可以说法兰西源源不断地滋生出大数学家。他们中的每一个都成就非凡，如果放在其他国家里，都有可能成为该国历史上最伟大的数学家。而法国人也是以此为傲，仅巴黎以数学家命名的街道、广场、车站等就有百余处，巴黎二十个街区也是以阿拉伯数字命名，并以几何学中的双曲螺线为序排列。
以下我们选择其中的七位数学家，他们后来走上不同的人生道路，但都能从不同的角度给我们以启示。
达兰贝尔，偏微分方程的开拓者，最早写出了动力学原理的著作，著名的《百科全书，或科学、艺术和工艺详解词典》的副主编（主编是哲学家狄德罗）。这是世界上第一部影响巨大的百科全书，网罗了一大批启蒙思想家，并在编撰过程形成了一个被后人称之为“百科全书”的哲学流派。他们反对封建特权制度和天主教会，向往合理的社会。主张一切制度和观念要在理性的审判庭上受到批判和衡量，同时推崇机械工艺和体力劳动，从中孕育了资产阶级务实谋利的精神，并为1789年的法国大革命作了舆论准备。
拉格朗日是拿破仑的亲密朋友，后者称他是“数学领域高耸的金字塔”，并让他做上了参议员。他在微积分学的完善、微分方程、变分法、数论和群论等方面都有许多开创性的工作，他的名字遍布数学的各个领域。可是中年以后，拉格朗日的经历与牛顿有着相似之处，即数学热情锐减，正如他写给达朗贝尔的信中所说的，“我开始感觉到我的惰性一点点地增加，我不能说从现在起还能再干十年数学。矿井已经挖得够深了，除非发现新的矿脉，否则就不得不抛弃它了。”果然，他转向了形而上学、宗教史、思想史、语言学等的研究。拉格朗日活得还算长寿，在有生之年他看到高斯完成了一部分伟大的事业，发现他当年认为数学已进入衰败时期的预想是错误的。
拉普拉斯也是拿破仑的亲密朋友，做为一个政治上的机会主义分子，他在法国大革命最动荡的日子里，无论哪个党派得势，他都能逢场作戏，迎合当权者。他在概率论、微分方程、测地学和天体力学领域，都做出了杰出的贡献，并享有“法兰西的牛顿”的美称。事实上，他毕生都积极投入把牛顿的万有引力定律应用于整个太阳系这项事业中。由于拉普拉斯在政治上比拉格朗日花费了不少精力（因此树立起谄媚者的形象），他无暇顾及其他。早年的学生拿破仑把一切荣誉给了他，任命他做过内政大臣和议长；王朝复辟以后，他随即效忠于路易十八，又被封为候爵，并亲手签署了流放恩人的法令。也正因为如此，他不像同时代的拉格朗日、蒙日和卡诺那样，死后得以下葬巴黎先贤祠。
蒙日，画法几何的创立者（开拓了机械制图和机械工程），微分几何之父（用微积分学研究曲率，启发高斯，进而黎曼，发展出应用于相对论的黎曼几何学）。出身卑微，父亲是磨刀匠，后来成为军事学院的教官，与拿破仑结为密友。后者派蒙日为特使前往意大利接受作为“战争赔偿”的艺术品，当他发现有比布置卢浮宫多出六倍的绘画、雕塑作品被装船时，出面制止。否则的话，今天罗马梵蒂冈博物馆和佛罗伦萨乌菲茨美术馆里的许多价值连城的藏画都不会留在意大利了。蒙日后来与裁缝的儿子、数学家傅里叶一起随拿破仑远征埃及，在一次战斗中拿破仑还救过他的命。
蓬斯莱（又译蓬赛列），数学界的马可·波罗，他早年参加拿破仑的军队，1812年，当法军从莫斯科退却时他和其他数十万士兵一起被捕。在这批法国战俘中，惟一受益的是这位年仅24岁的数学家。当时他身边什么书也没有，就开始在战俘营里构思巨著《论图形的射影性质》。他被释放回国后，于1822年在巴黎出版了此书，这部著作开创了射影几何史上的所谓“辉煌时期”。事实上，射影几何因其引人瞩目的美及其证明的优雅，成为十九世纪几何学家特别钟爱的研究课题。而对于业余爱好者或某一阶段感兴趣的专业人士，它都是一个容易学到并有所成就的学科。
柯西，法国大革命那年出生在巴黎。极具文学天赋和诗才，也是帕斯卡尔之后所有法国数学家中最虔诚的。柯西一家避居乡下时和拉普拉斯做了邻居，后来父亲出任参议院的秘书，因此小柯西又有机会得以见到拉格朗日，他赢弱的身体和聪明使得参议员给了同僚这样的忠告，“在17岁以前，不要让这个孩子摸数学书。”“如果你不赶快给他一点可靠的文学教育，他的趣味会使他冲昏头脑。”做父亲的牢记在心，后来他的儿子获得了学校拉丁诗比赛的头名和一次全国比赛的胜利。但这不妨碍柯西成为那个时代仅次于高斯的数学家，他在数学分析、实变和复变函数论、微分方程、线形代数、概率论和数学物理方面都有杰出的贡献。
伽罗瓦，天才的最典型的例子，他21岁那年死于情人决斗，此前还两次作为政治犯被捕入狱，却是十九世纪最伟大的数学家之一。在决斗前夜他以致友人书信的方式写下自己的数学发现，包含了所谓的伽罗华理论，这个理论奠定了群论的基础。事实上，他是严格意义上用“群”（Group）这个词的第一人，后来人们发现，群的概念不仅是抽象代数在二十世纪兴起的重要因素，在几何学中也起到立法分类的作用，同时它还推动了量子力学的发展。伽罗瓦之所以会卷入愚蠢的决斗，固然与父亲含冤自杀，他本人两次报考巴黎综合工科学校未果，参与政治活动被学校开除，有创见的论文被科学院忽视等事件有关，也与他自小偏科，被对数学的疯狂主宰不无关系。
在伽罗华去世二十多年以后，法国又诞生了一位数学大师，他的名字叫庞加莱，他因为新近以其名字命名的猜想获得解决引起全球公众的瞩目。像那些同胞前辈们一样，庞加莱的才华和成就横跨了科学与人文两大领域。在数学领域，庞加莱被认为是通晓全部纯粹数学与应用数学知识的最后一个人，他涉足的研究领域惊人地广泛，并不断使之丰富。他还是数学的天才普及者，其平装本的通俗读物被人们争相抢购，并被译成多种文字，在不同的国度和阶层广泛传播，就如同后来的英国理论物理学家、《时间简史》的作者霍金那样。
庞加莱出生在法国东北部小城南锡，不幸在五岁时患上白喉症而体弱多病，不能顺利地用口语表达思想。虽然他对数学的兴趣来得比较晚（15岁），不过很快显露出非凡的才华，两次获得全法数学竞赛的一等奖以后，他被保送到巴黎综合工科学校。在数学领域，庞加莱对拓扑学的贡献无疑最为重要，庞加莱猜想曾并被悬赏一百万美元。这个猜想说的是，任意三维的单连通闭流形必与三维球面同胚。有意思的是，这个猜想的推广，即四维和四维以上的情形先期被两位美国数学家证实，加上新近证明原猜想的俄国人佩雷尔曼，共有三位数学家因为研究它先后获得菲尔兹奖，这在数学史上绝无仅有。在纯数学以外，庞加莱的贡献也难以胜数，涉及到应用数学、力学、实验物理和天文学等许多领域。
庞加莱的哲学著作包括《科学与假设》、《科学的价值》和《科学方法论》，他是唯心主义约定论哲学的代表人物，认为公理可以在一切可能的约定中进行选择，但需以实验事实为依据，避开一切矛盾。他反对无穷集合的概念，反对把自然数归结为集合论，认为数学最基本的直观是自然数，这使他成为直觉主义的先驱者之一。这些著作在全世界拥有众多的读者，他也建立起法语散文大师的美誉。正是由于这些成就的取得使他既当选为法兰西科学院院士（后成为院长），又当选为法兰西学院院士，他同时处身于科学和人文两座金字塔的塔尖。庞加莱相信艺术家和科学家之间创造力的共性，相信“只有通过科学与艺术，文明才体现出价值”。
法国人喜欢幻想并善于幻想，除了涌现出无数杰出的诗人、画家和音乐家之外，他们在数学方面提出了许多伟大的猜想，例如费尔马定理、庞加莱猜想，均出自法国人的头脑，还有中国人熟知的哥德巴赫猜想。在作家徐迟的同名报告文学里，谈到了哥德巴赫这位十八世纪的德国数学家，他在给瑞士大数学家欧拉的信中提出了自己的猜想，这个猜想至今仍无人能够证明。但不久以前，有人在笛卡尔散失的遗作里发现，早在哥德巴赫之前一个世纪，这位全才的法国人便发现了这一数字规律，即每个大于或等于六的偶数均可表示成为两个奇素数之和。当然，由于笛卡尔早已经鼎鼎大名了，连法国人也没有要求把这个猜想的名字更改。
如果说工业革命的需要促使牛顿在英国发明了微积分，那么流血的法国大革命尤其是拿破仑的好战也造就了一批精通理论和应用的数学家。如上所述，那个时代的法国数学家几乎都与拿破仑交上了朋友，他们中的许多位曾在军事学院或准军事学院就读、任教。即便较晚出生的柯西，也在离拿破仑滑铁卢之战尚有五年时，到英吉利海峡的港口瑟堡担任一名军事工程师，当时他身上只带着四本书，拉普拉斯的《天体力学》、拉格朗日的《解析函数论》，一本天主教的教义和一册维吉尔的诗集。从笛卡尔、帕斯卡尔、柯西等人的成才例子和伽罗瓦的早夭也可以看出，身体和智力上的平衡、科学与人文素养的兼备是何等重要。
或许是法兰西的面积狭小，数学家们抬头不见低头见，加上邻国之间的相互竞争，使得多数对数学感兴趣的人有着高起点，他们相互影响和勉励，形成了合理的良性循环。不仅如此，法国人研究数学的形式也别出心裁，例如著名的布尔巴基学派。1930年代，几位在大学教授微积分学的青年人觉得现行使用的教材已经过时，尤其是对多重积分等的处理不尽人意。几番探讨之后，他们决计要写一本尽可能现代的分析教程，结果有了一整套《数学原理》。这帮年轻人不计较个人名利，在相当长的时间里，只用布尔巴基这个笔名发表数学论文，其中的多位成员如韦伊、嘉当等后来成为大师级人物。他们引进了数学结构的概念，主要考虑一些对象的集合，而非具体的形、数、函数或运算，这一思想构成了现代数学的核心。
需要指出的是，本文提到的半数法国数学家与巴黎综合工科学校（1794）结缘，而另一座同样诞生于法国大革命期间、校名同样谦逊的巴黎高等师范学校（1808）则在上个世纪培养了许多位菲尔兹奖得主。可以说，正是笛卡尔以降法国数学的人文主义传统，使得数学在法国长盛不衰。值得一提的是，这一良好的氛围也熏陶了滞留巴黎的德国人莱布尼茨，他从一个肩负外交使命的秘密使臣一跃成为大数学家和大哲学家，他那轰动一时的微积分学便是在巴黎期间发明的。莱布尼茨的出现标志着德意志民族在世界文明史上的真正崛起，同时也使得法国数学又多了一个强有力的竞争者（布尔巴基学派的诞生正是迫于德国数学后来居上的压力）。一个相反的例子，印度数学家拉曼扭扬被誉为一千年以来难得一见的天才，这也意味着数学在这个东方古国未成为一种文化传统。
再来看中国，虽说西汉时就有了《周髀算经》和《九章算术》，南朝时祖冲之对圆周率的估算领先西方一千多年，却限于实用性的计算而忽视了公理化建设和理论推导。近代以来，由于缺乏对外交流，中国和整个东方数学未跟上时代的脚步。等到国门重开，终于意识到自己的落后，摆在我们面前的困难重重。这里面当然有机制和学风的因素，不过我相信，如果我们的数学工作者年轻时多一些人文修养，盛年之后能把一部分精力转向哲学思考或研究，及时探讨数学的未来和外延。如同本文引言所说的，把数学看成是传统文化的一部分，而不是做为敲门砖或谋取名利的手段，我们的数学事业就会兴旺发达，数学研究和人才培养就会成为一种有序的制度，中国也有望成为真正的数学大国。
2006年10月，杭州
本文系为中国数学会主办的《数学通报》创刊70周年而作，曾在北京师范大学敬文大礼堂演讲。
