乔治·布尔（1815—1864年）是鞋匠的儿子，1815年11月生于英格兰的林肯。由于家境贫寒，布尔不得不在协助养家的同时为自己能受教育而奋斗，不管怎么说，他成了19世纪最重要的数学家之一。尽管他考虑过以牧师为业，但最终还是决定从教，而且不久就开办了自己的学校。在备课的时候，布尔不满意当时的数学课本，便决定阅读伟大数学家的论文。在阅读伟大的法国数学家拉格朗日的论文时，布尔有了变分方面的新发现。变分是数学分析的分支，它处理的是寻求优化某些参数的曲线和曲面。
布尔通过自学掌握数学知识。布尔用数学方法研究逻辑问题，成功地建立了逻辑演算。他用等式表示判断，把推理看作等式的变换。这种变换的有效性不依赖人们对符号的解释，只依赖于符号的组合规律。这一逻辑理论人们常称它为布尔代数。20世纪30年代，逻辑代数在电路系统上获得应用，随后，由于电子技术与计算机的发展，出现各种复杂的大系统，它们的变换规律也遵守布尔所揭示的规律。因此，布尔代数的应用日益广泛，内容也日益普及。著有《逻辑的数学分析》、《思维规律的研究》。
1848年，布尔出版了《TheMathematicalAnalysisofLogic》，这是它对符号逻辑诸多贡献中的第一次。1849年，他被任命位于爱尔兰科克的皇后学院（现NationalUniversityofIreland，CollegeCork或UCC）的数学教授。1854年，他出版了《TheLawsofThought》，这是他最著名的著作。在这本书中布尔介绍了现在以他的名字命名的布尔代数。布尔撰写了微分方程和差分方程的课本，这些课本在英国一直使用到19世纪末。布尔在1855年结婚，他的妻子是皇后校园一位希腊文教授的侄女。1864年，布尔死于肺炎，这是由于他坚持上课后在十一月的冷雨中步行二英里淋湿后受凉而引起的。
德国现代逻辑创始人——弗雷格
弗雷格1848年11月8日生于德国维斯马；1925年7月26日卒于巴德克莱茵。
弗雷格出生的年代正值德国民主革命开始。维斯马是一个远离德国政治中心的小商业城镇，革命风潮对这里影响很小。弗雷格出生在一个信奉路德教的中产阶级家庭，在血统上是混杂的（部分是德国的，部分是波兰的）。其父亚历山大·弗雷格开办了一所女子学校。他去世后这所学校就由他妻子来管理。1869年，母亲奥古斯特·弗雷格送弗雷格到耶拿大学就读。当时弗雷格就把数学作为自己的主要兴趣，但也选修了化学、物理和哲学。他的老师——数学家、物理学家E·阿贝及时发现了他的才能，成为他毕生信念的支持者。在阿贝的帮助下，他离开耶拿，来到格丁根大学继续深造。1873年，在数学家E·谢林的指导下，弗雷格以论文“论平面上虚影的几何图形”获得哲学博士学位。该论文通过对平面上虚影图形性质的讨论，阐明了几何学基于直觉的观点。他在格丁根还参加了著名哲学家R·H·洛采的讲座。洛采的逻辑观念，特别是他对纯逻辑的看法，对弗雷格逻辑思想的形成有着重要的影响。
弗雷格在格丁根大学获得博士学位之后，又回到耶拿大学。在阿贝的帮助下，他于1874年以论文“基于量值概念外延的演算方法”获得了无薪大学讲师的资格。在这篇论文中，弗雷格提出了用于运算的量值概念，并断言算术真理产生于量值概念。1879年，弗雷格的《概念语言》问世之后，他又一次在阿贝的推荐下成为耶拿大学的编外教授。1896年成为荣誉教授。弗雷格在耶拿大学执教40余年，讲授过数学的各分支学科及有关的逻辑系统，举办过“概念符号”讲座，他一直致力于数学基础、数学哲学和逻辑理论的研究。1918年退休。
弗雷格首先是作为一位数学家和逻辑学家而闻名于世的。他在数学上的主要成就，是使自CF高斯以来所建立的数学体系更精确和完善，确立了算术演算的基本规则。他第一个建立了初步自足的命词演算系统和量词理论，首次提供了现代意义下的数理逻辑的一个体系，因而成为数理逻辑的奠基人。他提出数学可以化归为逻辑的思想，成为逻辑主义的创始人。弗雷格还是一位杰出的哲学家。他的绝大部分著作都具有明显的哲学特征。他认为：“一个好的数学家，至少是半个哲学家；一个好的哲学家，至少是半个数学家。”他直接把传统哲学对思维内容和认识能力的探讨，转向对语言表达形式和语言内部框架的考虑。他认为对语言意义的分析，是哲学研究的主要任务。弗雷格对哲学任务的重新规定，标志着当代西方分析哲学的开端。因此他被誉为当代分析哲学的真正奠基者。
弗雷格的主要著作有：《概念语言》、《算术的基础》、《函数与概念》、《论意义和意谓》、《论概念和对象》、《算术的基本规律》1~2卷（以下简称《基本规律》）。
弗雷格的科学生涯大致可以分为五个时期：
在第一个时期，弗雷格主要从事纯逻辑的研究。其研究成果总结在1879年出版的《概念语言》中。用数学方法研究逻辑问题，一般认为是由G·W·莱布尼兹提出的文字学设想开始。他提出过有关思维演算的思想。莱布尼兹的这种先驱性想法没有及时得到应有的发展。在湮没了一个世纪之后，19世纪英国的两位数学家A·德摩根和G·布尔用代数的方法建立了逻辑代数。但这种逻辑代数与亚里士多德的形式逻辑本质上是相似的。在1874—1879年间，弗雷格攻读了布尔学派和一些哲学逻辑学家的著作。除洛采外，18世纪德国哲学家A·特伦德伦堡的著作对弗雷格也有较大的影响。通过特伦德伦堡的工作使弗雷格了解到莱布尼兹关于逻辑语言的观点。弗雷格还追随特伦德伦堡，把他的逻辑符号系统称作“概念语言”。弗雷格用心研究莱布尼兹和I·康德的逻辑学和数学哲学方面的著作，有选择地接受了两位哲学家的思想。在弗雷格晚年，他是这样描述自己的研究动机的：“我开始是搞数学。在我看来，这门科学急需更好的基础，……语言逻辑的不完善对这种研究是一种障碍。我在《概念语言》中寻求弥补。所以，我就从数学转向了逻辑。”
经过5年的沉思，弗雷格完成了一部划时代的著作——《概念语言》。在这本书里，弗雷格把从洛采和特伦德伦堡，以及从莱布尼兹和康德那里得到的观点，变成一种全新的逻辑。这本不足80页的小书是弗雷格的不朽之作。弗雷格在此建立的逻辑有效地终结了亚里士多德逻辑两千多年来一直占据的统治地位，完成了始于几百年前G·伽利略破除亚里士多德物理学的进程。在《概念语言》中，弗雷格创造了一种表意的语言，即“纯粹思想的语言”。正如他在这本书的副标题中所说——它可以使我们完全精确地表达判断的概念内涵。弗雷格认为，真理分为两种，一种真理的证明必须以经验事实为根据，例如物理学中的定理。另一种真理的证明似乎可以纯粹从逻辑规律出发。他认为算术命题就是属于后一种的。在探讨如何根据思维的逻辑规律经过推理以得到算术命题时，必须绝对严格，要防止未被察觉的直观因素渗入，因此必须使推理过程没有漏洞。他觉得日常语言是表达严密思想的障碍。当所表达的关系越复杂时，日常语言就越不能满足要求。因此他创造了这种概念语言。他说，用这种语言进行推理，最有利于觉察隐含的前提和有漏洞的步骤。这种语言和日常语言相比，就好像机械手和人手相比，或者像显微镜和肉眼相比一样。利用这种语言，弗雷格成功地构造了一个严格的逻辑演算体系。
一生俭朴谦逊的数学家——戴德金
戴德金，1831年生于德国不伦瑞克；1916年2月12日卒于不伦瑞克。
戴德金的父亲是一位法学教授，母亲是一位教授的女儿。1848年戴德金进入了卡罗琳学院，这也是高斯的母校。在那里他学到了解析几何、代数分析、微积分以及力学和自然科学。1850年复活节，他进入哥廷根大学学习。当时哥廷根刚刚建立起数学和物理学讨论班，在那里他跟斯特恩学到数论基础知识，跟韦伯学习物理。1851年黎曼也参加讨论班，他们很快结下了深厚的友谊。戴德金还学习了物理和天文，并听过高斯的最小二乘法和高等测量学。他只上了四个学期就在高斯指导下准备博士论文，题目是《关于欧拉积分的理论》。对此，高斯写了如下评语：“戴德金先生准备的论文是关于积分学的一项研究，它绝不是一般的。作者不仅显示出对有关领域具有充分的知识而且这种独创性也预示出他未来的成就。作为批准考试的试验论文，我对这篇论文完全满意。”
1855年高斯去世后，狄里赫利来到哥廷根。戴德金听到狄里赫利的数论，位势理论、定积分和偏微分方程等内容，获益匪浅。他很快与狄里赫利有了密切的交往，并进入了狄里赫利和他的朋友们的社交活动。1855年冬到1856年，戴德金听黎曼讲授了阿贝尔函数和椭圆函数的课程。他自己也在1856到1858年先后讲授两个学期的伽罗瓦理论。他可能是第一个开伽罗瓦理论的人。在讲课中，他引进了域的概念，并且把置换群的概念用抽象群的概念来取代。
