1858年戴德金被任命为瑞士苏黎世综合工业学院教授。在讲授微积分的课程中深感分析基础的薄弱，从此开始实数理论基础的研究。他在11月24日得出了自己的连续性和无理数理论，并在几天后告诉了他的朋友杜瑞热，1872年以《连续性与无理数》出版。这本书的问世连同魏尔斯特拉斯分析基础的传播以及康托尔集合论的诞生，标志着现代数学新时期的来临。1888年他出版了《数是什么？数应当是什么？》。这本书有很大的影响，特别是影响皮亚诺得出其著名的算术公理。
戴德金无理数理论的核心是他的“分割”的概念。一个分割把所有有理数分成两类，使得第一类中每一个数都小于第二类中每一个，每一个分割对应于一个实数。这样在有理数之外，就引进了无理数的概念。这是建立在有理数已经存在的基础之上。再进一步，如何建立自然数、有理数，就直接导致了皮亚诺的自然数公理。
在哥廷根和瑞士期间，戴德金致力于狄里赫利1856到1857年的数论讲义和黎曼全集的编辑工作。在1871年《数论讲义》第二版附录中，戴德金首次发表了自己的域论及理想理论以及由此建立的一般代数数论。而独立的、系统的代数数论是他在1876至1857年发表的《代数整数论》，其部分内容收入《数论讲义》1879年第三版，更为完整的理论则作为1894年第四版附录出版。
戴德金是近代抽象数学的先驱。他或明显或隐含地定义了抽象代数许多基本概念，而且对研究抽象结构有着明确的理解。他给出了有限群的抽象定义，推广了具体的理想及域的概念。1897年在研究群论中引进换位子群概念，并证明他是正规的。在他的通信启发下，G弗罗贝尼乌斯从1895年起发展了群的特征标理论，成为群表示论的强有力的工具。另外，他还是格论的创始人。他的抽象代数的思想后来被希尔伯特和诺特大大发展。但诺特认为，她的抽象代数理论在戴德金那里已经有了。
朗道在1917年哥廷根召开的纪念戴德金的讲演中对他作了崇高的评价：“戴德金不仅是一位伟大的数学家，而且是从古到今整个数学史上真正杰出的人物。他是他那时代的最后一位英雄，高斯的最后一位学生。他本人40多年来已是经典作家，不仅我们，而且我们的老师乃至老师的老师都从他的工作中受到启发。”
影响深远的数学家——哥德尔
库尔特·哥德尔于1906年4月28日出生在奥匈帝国属下的布瑞尼（今天的布尔诺，这里出过另一位伟大人物——遗传学之父孟德尔），他的父母是德国人。与一般人推测不同，他并没有犹太血统。他在家乡上了四年国民学校和八年德国国立中学。1924年中学毕业后，他进入奥地利维也纳大学哲学系，先是攻读物理，后于1926年转而攻读数学，这恐怕是出于他对精密性和严格性过分偏爱的缘故。当时的维也纳大学有不少享有国际声誉的数学家，如曾解决过希尔伯特的一些猜想的数论专家费特万格勒，泛函分析的创始人之一哈恩与拓扑学家门格尔等。大学时他对费特万格勒的数论课很有兴趣，这同他后来的工作有很大关系，比如他应用孙子定理来构造由加法与乘法表出的原始递归函数。
上大学时，哥德尔对哲学也很有兴趣，实际上对哲学的探索始终贯穿着他的一生。他听哲学教授的讲课，特别是经常参加维也纳小组的活动。20世纪最主要的哲学流派——逻辑实证主义当时刚刚开始他们的事业，哥德尔赞成以施里克为首的这个学派的分析方法，即用数理逻辑来对哲学及科学概念进行分析。但是他也一直不同意他们否定客观实在性，及认为形而上学命题是无意义命题等基本观点。不过，他的哲学观点也促使他对于数理逻辑进行深入的钻研。
当时数理逻辑的经典著作是罗素和怀特海的《数学原理》，这三卷满是符号的大书，恐怕只有极少数人读过。1928年，希尔伯特和阿克曼合著的《理论逻辑纲要》出版，这是一本论述简明、清晰，概括性强的好书，对哥德尔的启发性很大。书中明确提出一个尚未解决的问题——狭义谓词演算的完全性问题。哥德尔很快解决了这个问题，把结果写成博士论文，成为他一生事业的开端。
1929年秋天，他进行答辩。1930年2月得到批准取得博士学位。1930年夏天，哥德尔开始研究希尔伯特计划，他想证明分析的无矛盾性。同年9月，他到东普鲁士哥尼斯堡去参加科学会会议，许多著名数学家如希尔伯特、冯·诺依曼、海丁、卡尔纳普都参加了这次会议。希尔伯特在会上做了题为“逻辑和对自然的认识”的著名演说，他乐观地宣称：“我们必须知道，我们将会知道。”可是，就在这个会上哥德尔宣布了他的第一不完全性定理。不久，他又证明了第二不完全定理。这个结果毫无疑义对希尔伯特计划是莫大的打击。
1931年，哥德尔在维也纳大学当助教，这篇文章成为就职论文而受到了很高的评价。从1933年到1938年，他在维也纳大学当讲师。1932年他到过哥丁根，见到过爱米·诺特、西格尔、甘岑等人。他没见到早逝的天才厄布朗，但他们交换过信件，厄布朗的信中有最早的递归函数想法。但是厄布朗只收到哥德尔一封信。
1933年到1934年，哥德尔第一次来到普林斯顿大学高等研究院。他在这里见到丘奇、克林和罗塞尔。他在普林斯顿大学发表了《论形式数学系统的不可判定命题》的演讲，这对后来美国研究递归论是极大的推动。
1937年，哥德尔在维也纳讲授“公理化集合论”，这时他开始集中力量研究这个题目。在他秋天来到高等研究院时，他已经对选择公理的无矛盾性有所考虑，并把自己的思想同冯·诺依曼交谈过。不过，他的可构造集的思想、广义连续统假设和选择公理与NGB系统的无矛盾性，一直到1938年秋天才在高等研究院讲演，并在1938到1940年发表。这时他已经开始定居美国了。
1938年3月，希特勒占领奥地利，这时哥德尔刚刚结婚。1939年9月，二次大战爆发，他于1939年底横贯前苏联的西伯利亚太铁路经日本到了美国，从此再也没有回奥地利。在美国，除了1940年春季在圣母大学任教外，一直在普林斯顿高等研究院工作。由于研究院里有人反对和阻挠，直到1947年他才被批准为常任研究员，1953年才成为教授。对于这样伟大的数学家来说，得到这种称号的时间实在是太晚了。到这时，他在数理逻辑方面的主要工作都已经完成了，他的兴趣已经转向其他方面了。
1947年到1951年，哥德尔开始注意和研究广义相对论。他同爱因斯坦是多年老邻居，他们几乎天天一起散步回家。但是哥德尔表示，他对相对论的兴趣并非来自同爱因斯坦的谈话，而是来自对康德时空哲学的兴趣。1950年，他在国际数学家大会上做的报告，就是关于“旋转宇宙”的论文。
后来，哥德尔的兴趣转向哲学。他认为，健全的哲学思想对科学研究的成功有很密切的关系。他说，数学及元数学的（特别是关于超穷推理的）客观主义观点，对于他的逻辑研究是最根本的。1959年起，哥德尔开始阅读德国哲学家胡塞尔的哲学著作，并一直保持着强烈的兴趣。他认为有些哲学家，特别是柏拉图和笛卡尔，在他们一生中具有一种与日常生活的世界观完全不同的直观的世界观，也许胡塞尔也曾达到过这种境界。
晚年，哥德尔间或对数理逻辑做些工作。
1978年1月14日下午，哥德尔在普林斯顿医院的椅子上坐着候诊时去世，享年72岁。
逻辑学的用处
有个学生请教爱因斯坦逻辑学有什么用。
爱因斯坦问他：“两个人从烟囱里爬出去，一个满脸烟灰，一个干干净净，你认为哪一个该去洗澡？”
“当然是脏的那个。”学生说。
“不对。脏的那个看见对方干干净净，以为自己也不会脏，哪里会去洗澡？”
黑色的羊
物理学家、天文学家和数学家走在苏格兰高原上，碰巧看到一只黑色的羊。
“啊，”天文学家说道，“原来苏格兰的羊是黑色的。”
“得了吧，仅凭一次观察你可不能这么说。”物理学家道，“你只能说那只黑色的羊是在苏格兰发现的。”
“也不对，”数学家道，“由这次观察你只能说：在这一时刻，这只羊，从我们观察的角度看过去，有一侧表面上是黑色的。”
物理教授与数学教授
物理教授走过校园，遇到数学教授。物理教授在进行一项实验，他总结出一个经验方程，似乎与实验数据吻合，他请数学教授看一看这个方程。一周后他们碰头，数学教授说这个方程不成立。可那时物理教授已经用他的方程预言出进一步的实验结果，而实验效果颇佳，所以他请数学教授再审查一下这个方程。
又是一周过去，他们再次碰头。数学教授告诉物理教授说这个方程的确成立，“但仅仅对于正实数的简单情形成立。”
悖论问题
一人正与同学讨论一悖论问题：村里惟一的理发师每月一定要给自己不理发的人理发，问理发师的头谁理？真难！若是理发师自己理发，就是给自己理发的人理发；若是理发师自己不理发，就是不给自己不理发的人理发，好深奥啊！讨论半天毫无结果。
后排同学钱某插过来一句话：“这还不简单，理发师秃头呗！”
口试
课堂上，老师出了一道判断题要求同学们当场判断正误。
老师：“小林，请你判断一下。”
小林：“我认为答案应该是‘错误’。”
老师：“为什么呢？”
小林：“因为前面小燕回答说‘正确’，但你没有让她坐下。”
不算错
敏敏：“7+3=10，你怎么写成7+3=1呢？”
宝宝：“只是末尾的0没有写而已嘛！”
敏敏：“那就错了！”
宝宝说：“0不就是没有的意思吗！”
武则天
历史课上，老师问道：“谁知道武则天是什么人？”
学生：“武则天是数学家，过五则添，就是发明四舍五入的那位大数学家。”
等车
“爸爸，4路车来了！”
“傻瓜，那不是4路，是31路！”
“老师说，3+1=4！”小男孩理直气壮地说。
差别在此
方老师在数学课上问阿细：“一半和十六分之八有何分别？”
阿细没有回答。
方老师说：“想一想，如果要你选择半个橙和八块十六分之一的橙子，你要哪一样？”阿细：“我一定要一半。”
“为什么？”
“橙子在分成十六分之一时已流去很多橙汁了，老师你说是不是？”
