摘要 反向抵押贷款是以房养老的金融工具，对反向抵押贷款进行科学合理的定价，是引入并开发出具有我国乡土特点的反向抵押贷款产品的基础。本文以有赎回权的反向抵押贷款为例，利用期权定价方法，建立了反向抵押贷款的期权定价模型和产品定价模型，并利用北京地区的数据资料，进行了实证分析。结果表明，有赎回权的反向抵押贷款隐含了欧式看跌期权，利用期权方法进行定价具有可行性和合理性。
关键词 反向抵押贷款 期权 定价 赎回权
一、引言
产品定价是我国发展反向抵押贷款成功与否的关键。所谓反向抵押贷款的产品定价，是指在借款人年龄、住房价值、贷款基准利率等参数给定的条件下，通过一定的产品定价方法，确定贷款额度或房屋抵押率（贷款额度的现值与住房价值之比）的过程。如果产品定价过低，那么申请人得到的贷款数额过少，申请人将失去兴趣，反向抵押贷款面临着需求不足的问题。反之，如果产品定价过高，则贷款机构面临着到期后贷款收不回来的风险，这项业务可能出现亏损，那么贷款机构将缺乏积极性。因此，反向抵押贷款如何定价，如何定得合理，是一个迫切需要研究解决的问题。
反向抵押贷款产品的种类不同，产品定价方式和结果也不同。在反向抵押贷款合约到期时，按照借款人是否可以将住房的抵押权赎回，可以分为两类：一类是无赎回权的反向抵押贷款产品，另一类是有赎回权的反向抵押贷款产品。对于无赎回权的反向抵押贷款产品，在贷款期限结束后，住房将由贷款机构收回处理，相当于终生生存年金，可采用保险精算的方法进行定价。
对于有赎回权的反向抵押贷款产品，由于借款人存在选择权，大数定律失去作用，保险精算方法不再适用。如何界定选择权，并把这种选择权与产品定价结合起来？本文欲在这方面做一些探索。
二、有赎回权反向抵押贷款的性质与定价思路
（一）有赎回权反向抵押贷款的产品性质
所谓赎回权，是指在反向抵押贷款合约到期后，借款人或其继承人可以通过偿还贷款本息，将住房的抵押权收回，从而结束贷款。也就是说，对于有赎回权的反向抵押贷款，当贷款期限结束时（一般为房主死亡），还款人（借款人或借款人的继承人）面临着两种选择：一是由还款人将反向抵押贷款的本息总额还清，从而把住房的抵押权收回，住房归其继承人所有；二是住房由贷款机构收回，继而拍卖出售，出售额归贷款机构所有。如果出售额小于贷款本息余额，根据无追索权条款，贷款机构无权向借款人或其继承人追讨不足部分。这样，理性的借款人就有了一种选择权：在贷款期限结束时，如果住房价值大于贷款本息总额，就会选择将抵押权赎回，差额归借款人所有；如果住房价值小于贷款本息总额，就会选择将住房交由贷款机构处理。这种选择权就是期权。由于期权的存在，使得有赎回权的反向抵押贷款的产品性质与无赎回权产品相比，发生了重大变化。相应地，它的定价方法也有质的不同。
（二）有赎回权反向抵押贷款的定价思路
按照期权理论，对于看涨期权来说，只有当标的资产的市场价格高于执行价格时，期权的买方才有收益；当标的资产的市场价格小于或等于执行价格时，买方并无损失。对于看跌期权来说，只有当标的资产的市场价格小于执行价格时，期权的买方才有收益；当标的资产的市场价格大于或等于执行价格时，买方并无损失。
具体到反向抵押贷款产品来说，当贷款期限结束时，贷款本息总额（S）是一定的，相当于标的资产的执行价格（X）。住房的未来价值（HT）随市场环境变化，可以看成是不确定的，它相当于标的资产的市场价格（ST）。当住房的未来价值（HT）低于贷款本息总额（S）时，借款人可以让贷款机构将住房收回，从而少偿还两者的差额（S－HT），相当于借款人获得了数额为（S－HT）的收益；当住房的未来价值高于或等于贷款本息总额（S）时，借款人可以将贷款本息总额（S）还清，从而将住房的抵押权赎回，借款人并未因此受到损失，也即借款人的收益为0。用公式表示为：
10 0借款人的收益＝
S－HT，若HT＜S
0， 若HT≥S
将借款人的收益与不同种类的期权买方的收益对比，可以看出，借款人相当于购买了一个看跌期权。由于期权的执行要等到贷款到期才可，所以这种期权为欧式期权。综合起来，有赎回权的反向抵押贷款产品隐含了一个欧式看跌期权。
当然，借款人获得上述收益并不是无代价的，其代价就是要向期权的卖方（贷款机构）缴纳一定金额的期权费。但期权费的形式并不是一笔固定金额的现金，而是在正常的无风险贷款利率基础上，附加一定比例的利率，也即借款人要付出比一般抵押贷款利率高一些的利率。这样，对有赎回权反向抵押贷款进行定价，就是通过期权定价的方法，确定期权费的大小和利率的变化值。
三、有赎回权反向抵押贷款的定价模型
由前面的分析可知，有赎回权的反向抵押贷款具有欧式看跌期权的性质。为给有赎回权产品定价，首先要对期权进行定价，然后将期权价值按一定模式摊入反向抵押贷款的贷款利率中。
（一）反向抵押贷款的期权定价模型
给期权进行合理的定价是期权交易的核心问题。常用的期权定价方法有Black－Scholes 期权定价模型和二项式模型，其中前者在较严格的假设条件下，可得到欧式看跌期权的精确定价。用公式表示为：
P＝Xe－r（T－t）［1－N（d2）］－St［1－N（d1）］（1）
其中：d1＝ln（St／X）＋（r＋σ2／2）（T－t）
σ×T－t
d2＝d1－σ×T－t
上式中，P-当前t时刻看跌期权的价格，即期权费；St-当前t时刻的标的资产价格，即期权合约售出时的标的资产价格；N（d1）、N（d2）-随机变量服从标准正态分布时变量的值小于d1、d2的概率，它们的值介于0和1之间，可通过查表求得；X-期权合约的执行价格；T-期权到期时间；r-连续复利形式的无风险利率；σ-标的资产的连续复利形式收益率的标准差，也就是标的资产连续复利形式收益率的波动率。
（二）期权定价需要解决的三个问题
将该模型应用于反向抵押贷款的期权定价，需要解决三个问题：一是反向抵押贷款是否符合期权定价的假设条件；二是期权合约的执行价格X；三是期权合约的有效期T。
1.关于假设条件
Black－Scholes 期权定价模型有一些基本假设，其中最核心的是“期权交易的标的资产价格呈对数正态分布”。由于我国的房地产发展时间较短，缺乏有效的数据，包林梅（2005）利用英国的住房交易资料对住房价格的分布进行了验证，结论是符合对数正态分布。对于其他假设条件，本文假定其全部成立。
2.关于执行价格X
反向抵押贷款的期权执行价格X 为贷款期限结束时的贷款本息总额。
对于一次性总付方式来说，执行价格为
X＝λH0（1＋r）T（2）
上式中，λ-房屋抵押率；H0-住房的初始评估价值；r-反向抵押贷款的贷款利率；T-期权合约的有效期。
对于终生生存年金支付方式来说，执行价格为
X＝（1＋r）TΣ
T－1
t＝0
A
（1＋r）t（3）
上式中，A-申请人在每年年初获得的年金金额，其他同上。
将式（2）和式（3）对比，得出：
A＝λH0
Σ
T－1
t＝0
1
（1＋r）t
＝λH0r（1＋r）T－1
（1＋r）T－1（4）
3.关于期权合约的有效期T
对于一个借款人来说，由于其死亡的具体时间是不确定的，余命也是不确定的，因此期权合约的有效期是不确定的。但对于借款人群体来说，如果借款人数足够多，根据保险学的大数定律，则借款人的平均余命是基本确定的，也即合约的有效期是基本确定的。这个有效期就是一定年龄段借款人群体的平均余命。
为计算反向抵押贷款隐含期权的价值，首先应根据生命表，计算出在某一年龄段的借款人的平均余命，或者从生命表直接查出借款人的平均余命，用平均余命作为期权合约的有效期T，然后再根据公式（1）计算期权的价值。由于贷款期限是从反向抵押贷款合约签订时计算，期初时刻t＝0，相应地，式（1）变为：
这就是有赎回权反向抵押贷款的Black－Scholes 期权定价模型。
上式中，P-反向抵押贷款看跌期权的价格，即期权费；N（d1）、N（d2）-随机变量服从标准正态分布时变量的值小于d1、d2的概率，它们的值介于0和1之间，可通过查表求得；H0-借贷合约签订时住房的评估价值，即住房的初始价值；X-期权合约的执行价格；T-期权合约的有效期限；r-反向抵押贷款的利率；rf-连续复利形式的无风险利率；σ-房价变动波动率σ，也即以连续复利形式表示的房价变动率的标准差。
（三）反向抵押贷款的产品定价模型
对反向抵押贷款进行定价，寻找贷款额度与房屋价值、贷款利率、借款人年龄等之间的内在关系，需要建立一个无风险套期保值的资产组合。通过该组合的实施，在贷款期限结束时，无论是住房价值大于还是小于执行价格，都使得现金流的流出与流入相等。从贷款机构的角度看，无风险套期保值资产组合的构成是：
1.发放一份反向抵押贷款
反向抵押贷款按年发放，为期初生存年金形式，每年发放的数量为A，发放周期为T 年。设在反向抵押贷款开始时，住房的初始价值为H0，房屋抵押率为λ，贷款期限结束时的住房价格为HT，贷款利率为r，贷款本息额之和为S，则T 年发放贷款的现值之和L S 为：
根据期初生存年金形式的反向抵押贷款定义，在贷款期限结束时，如果住房价值HT 大于贷款本息额S，则借款人只需偿还S；如果住房价值HT小于贷款本息额S，则借款人只需偿还HT。根据前面的分析，贷款本息额S即为期权的执行价格X。
2.购买一份欧式看跌期权
贷款机构为控制在房屋价格下跌时带来的风险，需购买一份欧式看跌期权，执行价格为X，执行时间为贷款期限T，期权费为P。则当期末房价HT高于X时，期权不执行，收益为0；当期末房价HT低于X时，执行该期权，期权的收益为X－HT。从而保证了贷款期限结束时，无论房价高于或低于X，都能保证贷款机构获得贷款本息额的收入。
3.向其他金融机构借入一系列现金流
为构筑无风险套期保值资产组合，假定贷款机构发放反向抵押贷款的资金是向其他金融机构借来的，以不占用自有资金。借用资金数量，在期初为A＋P，以后每期为A，以与每期发放贷款的现金流相匹配；借款利率为r′。将各期借款进行折现，令折现值之和为B，则：
B＝P＋ΣT－1t＝0A（1＋r′）t（10）
在贷款期限结束时，贷款机构需还款额为：
B（1＋r′）T＝P（1＋r′）T＋（1＋r′）［（1＋r′）T－1］
r′×λ H0r（1＋r）T－1
（1＋r）T－1（11）
将以上分析结果列入表1中，得到期初、期末3项资产组合的现金流的值。
这就是有赎回权反向抵押贷款的产品定价公式。其中隐含了欧式看跌期权P，P的值由公式（5）表征。贷款期限T的处理方法与期权定价模型一样，用借款人群体的平均余命来代替。
四、有赎回权反向抵押贷款产品定价的实证分析
以北京地区为例，对有赎回权反向抵押贷款的期权定价模型和产品定价模型进行实证分析。
（一）参数的测算
反向抵押贷款的期权定价模型和产品定价模型涉及的主要参数为：房价变动波动率σ、无风险利率rf、向其他金融机构借款利率r′、平均余命T、借贷合同签订时房屋的初始价值H0。下面分别进行测算。
1.房价变动波动率σ
房价变动波动率σ，就是以连续复利形式表示的房价变动率的标准差。它一般用历史波动率法进行测算。测算过程是：
首先，获得历年的房屋交易价格，据此计算房屋价格变动率。
rn＝Hn－Hn－1
Hn－1
×100%（15）
上式中，rn 是第n 期的房屋价格变动率，Hn 是第n 期的房屋价格，Hn－1是第n－1期的房屋价格，n 是考察期内的第n 期，n 的取值从1到J，考察期共有J期。
其次，根据Black－Scholes期权定价模型的要求，将房屋价格变动率换算成连续复利形式收益率。
rcn＝ln（1＋rn）（16）
这里，rc
n 就是与rn 相对应的连续复利收益率。
第三，计算连续复利收益率的均值。
珔rc＝Σ
J
n＝1
rc
n／J（17）
最后，计算连续复利收益率的标准差，即波动率。
σ＝
Σ J
n＝1
（rc
n－rc）2
J－1（18）
值得说明的是，如果房屋价格是以月来表示的，计算出的标准差就是月标准差，还需转换成年标准差，方法是：
σy＝σm×12（19）
其中，σy表示年标准差，σm表示月标准差。
由于北京二手房的交易历史较短，数据缺乏代表性，其波动率用新的商品房价格波动率来近似代替。根据北京市统计局的有关资料，从1995年到2004年北京市商品住宅平均价格为：
2.利率
连续复利形式的无风险利率rf。在我国，一般将一年期定期存款的基准利率2.25%作为无风险利率。按照公式（16），把它变成连续复利形式的，为rf＝2.23%。
贷款机构向其他金融机构的借款利率r′。如前所述，这个利率是一般形式的，包含正常的成本和合理的利润。根据有关的统计资料，我国目前银行业的资产利润率一般不超过0.5%；其他成本较低，假定为0.1%。再加上无风险利率2.25%，则贷款机构向其他金融机构的借款利率r′可以认定为2.85%。
3.平均余命
借款人群体的平均余命可从生命表中查取。由于北京地区没有单独的生命表，可用全国的生命表中的数据来近似代替。根据《中国人寿保险业经验生命表（1990－1993）》（非养老金业务男表CL1），一个60岁男子的平均余命为18.79岁，65岁男子的平均余命为15.18岁。
（二）计算结果及分析
本文利用北京地区一典型老年人的资料进行实证分析。假定老年人65岁，男性，现住房评估价值为40万元，拟向金融机构申请反向抵押贷款。将上述有关参数代入公式（5）和（14）后，进行模拟运算，得出贷款利率r和房屋抵押率λ 的一系列对应值。假设贷款利率为三年期商品房贷款利率5.51%，则房屋抵押率不应超过58.14%，即：r＝5.51%，λ＝58.14%如采用终生生存年金形式，则申请人每年可从贷款机构获得的贷款额为A＝21805.4元，相当于每万元房产每年可贷545元。
10 6假设贷款利率r 不变，将不同年龄的借款人资料输入根据上述定价模型编制的程序计算后，可得到一系列房屋抵押率λ和每年可贷款额A 的数值，如下图示。
从图中可以看出，随着借款人年龄的增长，房屋抵押率λ加大，每年可获得的贷款额逐步增加，这一趋势与定性分析结果是一致的。
五、结束语
有赎回权反向抵押贷款的产品定价是一个难点，也是本文的一个重点。首先，本文对有赎回权的反向抵押贷款的产品性质进行了界定，明确了它不是一般的贷款产品，而是隐含了欧式看跌期权的一种特殊贷款产品。其次，对期权概念和期权定价理论进行了梳理，并把它与反向抵押贷款结合起来进行对比分析，找出了各参数之间的对应关系。再次，把期权定价理论应用到反向抵押贷款的定价中，建立了反向抵押贷款的期权定价模型和产品定价模型。最后，利用北京地区的资料，对模型中涉及的参数进行了估计，并对典型借款人可获得的贷款金额进行了测算。实证分析结果可为贷款机构进行产品定价提供参考。
