摘要 生命周期理论在以房养老的研究中占据重要位置，以房养老作为个人理财规划的一种高级形式，同生命周期理论有着紧密地联系。
本文谨就此同反向抵押贷款的相关性等，从计量建模的角度给予较深刻的描述。
关键词 反向抵押贷款 个人理财 生命周期理论
一、计量模型的一般表述
个人金融理财业务的核心是根据客户的资产状况与风险偏好来实现客户的需求与目标，个人金融理财的根本目的是实现人生目标中的经济目标，同时降低人们对于未来财务状况的焦虑。个人生命周期又可以分为个人财务生命周期和家庭生命周期。
在人生的不同阶段，每个人的财务状况以及获取收入的能力和支出程度是不同的，个人一生各个不同阶段的不同收支构成个人的财务生命周期。莫迪格利安尼（Modigliani）和布伦博格（Brumberg）（1954）提出了关于个人财务生命周期的模型。我们可用下面的公式进行描述：
其中W n表示理财目标，这是指到某一特殊年份为某一目标要努力积累的一定数量的钱财；W0代表目前自有的资产；k1是自有资产进行投资或储蓄的回报率；St为每年用于储蓄的金额；k2是储蓄回报率；It为每年用于投资的金额；k3是投资的回报率；n是距离理财目标实现的年限；t＝1，2，n。
上述是个人财务生命周期的基本公式，一般地在生命周期的初期阶段，个人消费支出可能会超过收入并背负许多债务。但是随着时间的推移，个人收入开始超过消费支出，每年用于储蓄和投资的金额会不断增长，财富积累会越来越多。如果计划周详，就可以在去世时正好花光所有财富。个人理财的核心是通过合理安排贷款和储蓄以调剂和弥补收入和支出之差。为了更好地利用现有和将来可能拥有的资源，个人理财在一定程度上是针对人的整个一生，而非仅仅某个阶段的规划。
二、计量模型1
考虑抚养期子女的所需费用主要由其父母承担，故此生命周期理论的起始期，通常是从18岁而非0岁开始。个人工作期间的生活消费，不只是“个人”本身工作期的生活消费，还必须将受抚养子女所需要的抚养教育用费也一并计入。故此，这里得到的工作期为18～62岁，退休期为63～75岁。将个人终生工作期间的收入总额向个人的终生消费期间给予分配，就可以列出公式为：
公式中，t代表时期，Et代表到t期可取得的收入总额，Ct则表示到t期所消费的总额。
鉴于货币时间价值的作用发挥，每一时期取得的收入和支出的费用，在其价值上并不完全等同，故此这里将利率r 因素引入。同时为避免利率计算中的歧义，故将工作期的18～63岁调整为0～45岁，将整个消费期18～75岁调整为0～57岁。
列出新公式为：
公式2意即人们在45年的工作期间所赚取的收入总额，应当在整个57年的消费期予以平均消费（这一数额固然未包括个人在0～18岁时的消费，却包括了个人将自己的子女从0岁抚养到18岁的消费，故结果是相同的，并更符合常理）。
将上述公式翻译为通用语言，可表示为从第一年开始到生存最终年数的消费水平（经折现后的现值）的总和到第t 年所遗留遗产价值的贴现值，应等于初始财产价值和第1年开始到距离退休年数的收入（经折现后的现值）的总和。
假如，某人目前30岁，有初始财产价值为3万元，从现在开始到60岁退休，每年平均收入为2万元，经考虑利率折现后的现在价值为2万元×（年金现值系数，30年，利率），当利率为5%时，可折合现值为2万元×15.372＝30.744万元。从现在开始到预计75岁死亡，每年平均消费为1.5万元，并期望向子女遗留遗产若干。计算45年内共消费值为1.5万元×（年金现值系数，45年，5%）＝1.5×17.774＝26.666万元。最终尚可给子女遗留财产价值折合现值为4.078万元。
需要说明，公式2并未考虑遗产因素，而是假定一生工作期的收入总额在一生期全部消耗殆尽。这就是说，到人们死亡之时，所有的财产都是全部消耗得干干净净，正可谓“赤条条来去无牵挂”。但现实生活中，鉴于人们都有将自己相当部分的财产传承给后代的愿望，也因为人们于退休养老期除拥有钱财资源外，还需要有来自子女的生活起居的照料，以备晚年生活不能自理时有足够的依恃；需要有来自子女的精神慰藉，以备晚年生活寂寞时的安慰。同时，因为人们不可能准确地推断自己何时死亡，故总需要在经济物质上留有相当余地以备将来运用。故老人们死亡时，都会遗留相当的财产传承给后代。另外，人们开始筹划理财的时间，可能是18周岁走上工作岗位之时，但更多的情形则可能是已经工作了相当长时期，拥有了相当的财产，并真切感觉到了理财的欲望时，才开始个人理财的筹划。
三、计量模型2
为了更好地利用现有和将来可能拥有的各项财务资源，个人理财在相当程度是针对个人的一生而非某个阶段的财务规划。目前出现的有关个人财务策划、家庭金融的书籍，大多只是针对个人家庭生活中的某一时期阶段，某一投资储蓄行为，或某一理财事项的孤立评述，这一做法固然是很好的。但家庭为什么要搞持家理财，持家理财的根本目标为何，是否就是一切都“向钱看”，一切都追求收入效用的最大化，而将家庭人际和谐、个人事业发展等全然抛于脑后，显然违背人生之要旨。
财务目标模型的基本公式还可以表示为：
W n＝W o（1＋K）n＋Σnt＝1（Et－Ct）（1＋K）t
公式中，t-未来某一特定年份；N-目标要实现的年份；O-现在时点；即计划开始的时间；W n-指到某一特殊年份为实现某一目标要达到的理财目标；如积累一定数额的金钱；W o-代表目前拥有的一定数量的可以使客户达到某一目标的款项；K-表示积累财产可带来的回报率，1＋K 既包括初始投入的钱财，也包括投资回报；Et-表示t年内可以挣到的钱，并非投资投入；Ct-表示将在t年内消费或花掉的钱。
四、计量模型3
如果不考虑未成年时期，人的一生可以分为两个时期：工作时期和退休时期。
分别设为wl和nl。设每年劳动收入为yl，则人一生整个工作期间的收入Y L＝wl×yl，设每年的消费为c，则一生的消费为C＝（nl＋wl）×c，一生消费要等于一生收入，故一生的收入就是消费的极限，即C＝Y L，从而有（nl＋wl）×c＝wl×yl，每年的消费c为：
c＝yl×wl／（nl＋wl）
上式说明：工作期中人们并非是将全部收入都用于当期消费，退休期也不会因为没有收入而不再消费。消费不仅取决于现期收入而且要取决于一生的总收入，这是生命周期假说的一个重要观点，是对绝对收入假说的重要修正。此时消费倾向为wl／nl，是工作时期占全部生活期的比例，它与全部预期寿命成反比，与工作期成正比。如果预期寿命增加，边际消费倾向就会下降，如工作期延长，边际消费倾向就会提高。
综合考虑财产和劳动收入，我们可以用下列公式来总结生命周期中影响消费的因素。若某人现年40岁，打算于60岁退休，预期寿命80岁，则40岁以后的寿命为T＝40年，退休期nl＝20年，尚余的工作年限为（T－nl）＝20年。设ct 为t期的消费；ylt为t期的劳动收入；ylt＋1为t期以后的预期平均年劳动收入；W Rt 为t期所拥有的实际财富；T 为预期尚能存活的年度；nl 为退休期；则尚余的工作年限为（T－nl），可以得到：
ct×T＝ylt＋（T－nl－1）ylt＋1＋W Rt
则t期的消费ct为：
ct＝［y lt＋（T－nl－1）ylt＋1＋W Rt ］／T
由上式可以得到：t 期收入的边际消费倾向：dct／dylt＝1／T；t 期以后预期平均年劳动收入的边际消费倾向：dct／dylt＋1＝（T－nl－1）／T；劳动收入的边际消费倾向：dct／dylt＋dct／dylt＋1＝1／T＋（T－nl－1）／T＝（T－nl）／T；财产的边际消费倾向：dct／dW Rt＝1／T。由此处分析可知：源自暂时性收入（即t 期收入）的边际消费倾向1／T 往往比较小，而源自恒常性收入（即t 期以后的预期劳动收入）的边际消费倾向（T－nl－1）／T往往比较大。
根据以上分析，可以归纳出生命周期假说的重要含义：（1）消费在一生中保持不变。（2）一生消费由一生劳动收入与实际财富提供资金。（3）现期收入对现期消费影响很小，财富的影响也并不大，影响现期消费最大的是一生中预期的年收入，可见现期消费主要取决于一生收入水平。（4）生命周期，包括预期寿命与工作期长短会影响一生中各年的消费与储蓄。
该理论提出，消费是取决于现期工作收入和总资产的函数，即C＝ax＋by。公式中，C指消费，x指现期可支配收入，y指现有资产，a指收入消费系数，b指资产消耗系数。
收入消费系数的含义是，鉴于收入从消费的角度加以区分，可分为当期直接用于消费和留作财产两部分内容。前者是指将当期收入直接用于购买劳务服务，购买食品、日用生活品、消耗品、水电房租、缴费纳税等，从而不会导致财产积累；后者则是用于购买家用机械电器、车辆、大中型家具用具、贵重衣物、大中型日用生活器具等，可导致家庭财产增长的收入。家庭收入若并未用于支出购买，而是直接用于股票债券购买、储蓄存款、实业性投资时，也是家庭财产——金融性资产的增长，也应归于后者。将家庭的当期收入与当期的劳务、日用生活品等不形成财产的消费，当期收入与当期支出中的直接消费的指标对比，两指标加以比较，即为收入消费系数。
资产消耗系数则是指家庭拥有的各项资产中，用于当期折旧、摊销耗费的份额。家庭的各项资产都有一个或长或短的使用期，并随着该资产的使用磨损使价值逐步贬值折旧，而这部分价值的减少又转化为家庭生活消费的一部分。收入消耗再加上资产消费，构成家庭某一期间的消费总额。
五、计量模型4
从生命周期理论的角度来看，反向抵押贷款的潜在需求产生的原因，可用以下模型解释①：
C＝c（Y，Y c，a，t）＝1／L×Y＋（N－t）／Lt×Y c＋1／Lt×a
其中，C表示现期消费，Y表示现期收入，Y c表示预期收入，a表示开始时的资产，L表示人的一生，N表示个人预期停止赚取收入的年龄（退休年龄），t表示个人年龄，Lt表示个人在t 年龄以后的生命时间。
该公式说明，个人现期消费取决于个人的现期收入、预期收入、开始时的资产和年龄。该公式表明：如果某个老年人现期收入Y和预期收入Y c 都很低，年龄t又比较大，可以用于养老的资产a又很少时，他（她）的现期消费水平就相当小。在其他可利用的养老资源不变的情况下，利用反向抵押贷款工具，把住房价值转化为每一期的现期收入，同时增加老年人的预期收入，现期的消费水平就可以得到改善。在一生收入与消费平衡的预算约束下，个人为达到一生消费效用的最大化，各期的消费水平会相对恒定。因此，反向抵押贷款可以提高借款人生命各期（包括退休前和退休后）的消费水平。对那些有较高价值房产，但没有遗产动机，同时又希望提高各期消费水平的老年人来说，反向抵押贷款为他们消费水平的提高增加了融资的渠道，这是反向抵押贷款潜在需求的来源之一。
按照生命周期理论，消费函数的基本形式可以写成：
C＝a×W R＋c×YL，0＜a，c＜1
其中W R是实际财富（或称非劳动收入，包括股票、债券及储蓄、遗产等，储蓄和股票是其主要组成部分），a是实际财富的边际消费倾向，YL是劳动收入，c是劳动收入中的边际消费倾向。这个公式说明，人的消费取决于一生中的实际财富和劳动收入，即总收入，而非仅仅为现期收入。
六、计量模型5
反向抵押贷款设定年限的简单公式：
特定机构投资购房款×（1＋设定利率）＝房屋到期收回时的价值
如特定机构向客户贷款额度为10万元，该客户预期寿命为15年，设定利率为5%，15年到期该住房的价款预计为18万元。将公式套入，得：10万元×（1＋5%）15＝18万元。10万元×2.0789＝20.789万元，大于18万元，说明此公式尚不成立。设定年限不足15年，要小于预期客户存活寿命。这时的设定年限可确定为：
10万元×（1＋5%）x＝18万元
设定年限为1.05x＝1.8，解方程得x＝12年时，其复利终值系数为1.7959，x＝13年时，复利终值系数为1.8856。最终计算出设定年限为12＜x＜13，x 为12.046年。
房价总值＝每期支付房价Σ
N
t＝1
（1＋R）－rt
设若总房价款为18万元，利率为5%，期限为15年，套入公式得知：每年支付房款为1.2万元，则15年总计支付房款为18万元，若考虑货币时间价值的因素，则为1.2×21.579＝25.8948万元。其中本金为18万元，利息支出为7.8948万元。利息占到房价的43.86%，占到总房价款（房价＋利息）的30.49%。这一做法的一个前提条件就是不考虑利率的折现因素。房价在整个期间会有一定上升，但上述的幅率会否与利率增长保持同步，尚有待观察。
假如，该购房价款支付的期限为20年，利率为8%时，则每年应支付房价款项为9000元，20年的年金终值为9000×（年金终值，20，8%）＝9000×45.762＝41.858万元。其中本金为18万元，附加利息为23.1858元，利息占到房价的128.81%，占到总支付款的56.296%，利息超过了房价。这一事例中，贷款期限延长，利率给付标准提升，利息上升迅速，对客户来说几乎是难以承担之事。
以上列举的几个基本公式，是从静态的角度来思考问题。比如，当抵押或出售房产的协议初始签约，根据签约时的有关状况计算的每期应给付房款或抵押款的结果。在各要素情形已经发生改变的状况下，每期给付房款或抵押款的数额，也应同时给予改变，以适应已经变化的新情况。
