②修正方案1：将原始方案中用2辆4吨车分别向P11，P12单独送货改为仅用一辆4吨车向P11和P12同时送货，这样配送线路由原有的12条减少到11条，所需车辆数如表5-4所示。
③计算相关系数值：对于修正案1，由于P11和P12在同一配送线路上，因此有t11，12=1，相应地该线路由式（5-5）可知，相关的状态参数发生了变化：t0，11=1，t0，12=1。
第三步：进一步修正方案，对修正方案1进行调整。
①寻找符合条件的maxSij得：maxSij=maxS10，12=84。
②修正方案2：将修正方案1用2台4吨车分别向P10和P12单独送货改为仅用一辆4吨车向P10和P12同时送货，这样配送线路由11条减少到10条。
③计算相关数值：
对修正方案2，显然有t10，12=1；
由式（5-1）知，t0，12=0，t0，10=1。在此，由于t0，12=0，令q12=0。
由于此时P10、P11、P12在同一配送线路上，q10=q11=2.8+1.6=4.4，因此该线路应派一辆5吨车送货，详见表5-4。
配送距离：S2=S1-84=552
第四步：按照上述方法对方案进行修正，直到找不到满足条件的maxSij为止，最终的配送方案是：共存在4条配送线路，使用的配送车辆为1辆4吨车和3辆6吨车，详见表5-4，配送总距离290，这4条配送线路分别是：
第一条配送线路：P0→P1→P2→P3→P4→P5，使用1辆6吨车。
第二条配送线路：P0→P5→P0，使用1辆4吨车。
第三条配送线路：P0→P10→P11→P12→P7→P0，使用2辆6吨车。
第四条配送线路：P0→P6→P8→P9→P0，使用1辆6吨车。
通过上述例题的求解过程不难发现，配送方案的修正过程通常非常复杂而且工作量庞大，实际应用时需辅以计算机计算，使其简单易行。
2．多对多
如果有多个货源地可以服务多个目的地，该问题经常发生在多个供应商、工厂或仓库服务于多个客户的情况下。它的宗旨是将货物从多个供应点分别送到多个客户手中，既满足客户对货物的配送需要，又满足各供应点的存出货要求，并最终做到费用最省。
实际运输中常碰到有多个供应商并供应给多个工厂的问题，或者把不同工厂生产的同一产品分配到不同客户处的问题，在这些问题中，起点和终点都不是单一的。在这类问题中，各供应点的供应量往往也有限制。下面通过案例分析来说明这类运输问题的求解方法。
【案例】.某钢铁公司有三个采矿点A1、A2、A3和四个选矿工厂B1、B2、B3、B4，采矿日产量分别是500吨、200吨、300吨，选矿日处理量分别为200吨、300吨、100吨、400吨。各个采矿点到各选矿工厂之间的矿石运价（元／吨）如表5-7所示。问如何调运才能使总运费最低
表5-7
B1 B2 B3 B4
A1 6 3 2 5
A2 7 5 8 4
A3 3 2 9 7
首先，这是一个产销平衡的运输问题，要建立如表5-8所示的产销平衡运价表。
表5-8
B1 B2 B3 B4 生产量
A1 6 3 2 5 500
A2 7 5 8 4 200
A3 3 2 9 7 300
需要量 200 300 100 400 1000
其次，利用最小元素方法，从上表中找出运价最小者（若有多个则任选其一），我们选定为A1和B3对应的2，用圆圈圈上。将A1和B3所对应的生产量和需要量中最小者100填在圈的旁边。由于B3的需要量已经满足，所以，A1、A2不用再往B3运输，即B3所在列应该变为0。此时，表5-8变成表5-9的样式：
表5-9
B1 B2 B3 B4 生产量
A1 6 3 ②100 5 500
A2 7 5 0 4 200
A3 3 2 0 7 300
需要量 200 300 0 400 1000
重复上述操作，将A3和B2对应的2圈上，将300填入，将B2所在列变为0；将A3和B1对应的3圈上，将B1的需要量200和A3生产量300的剩余部分最小者0（已经填入，即已经用完），将A3所在行变成0；将A2和B4对应的4圈上，将200和400的最小者填入，将A2所在行变成0；将A1和B4对应的5圈上，将A1生产量的属于部分（500-100）和B4需要量的剩余部分（400-200）的最小者填入，将B4所在列变成0；将A1和B1对应的6圈上，将A1生产量的剩余部分（300-100-200）与B1需要量的剩余部分的最小者填入，将B1所在列变成0。最后得出表5-10。
表5-10
B1 B2 B3 B4 生产量
A1 ⑥200 0 ②100 ⑤200 0
A2 0 0 0 ④200 0
A3 ③0 ②300 0 0 0
需要量 0 0 0 0 0
表5-10中最后剩下的数值即为一种调运安排（一组可行解），总运费为3800元。但它是否为最优方案（最优解）还需要进一步验证。其中最为简便的是位势法。操作如下：
第一步，将运价分解为生产V和需要U两个部分，如表5-11所示。
表5-11
V1 V2 V3 V4 生产量
B1 B2 B3 B4
U1 A1 ⑥200 30 ②100 ⑤200 500
U2 A2 70 50 80 ④200 200
U3 A3 ③0 ②300 90 70 300
需要量 200 300 100 400 1000
即：U1+V1＝6；.U1+V3=2；.U1+V4=5；.U2+V4=4；U3+V1=3；U3+V2＝2。
令U1=0，则：V1＝6；V3=2；V4=5；U2=-1；U3＝-3；V2=5。
验证Ui+Vi是否小于所对应的运价，若全部小于，则为最优解，对应最佳方案。如果有大于运价情况，则需要令其小于运价，采用闭回路法作进一步调整。
表5-11中，A1和B1对应处数值为-2，以此为始点，标上（+为偶点，-为奇点），可以形成如图5-4所示的运量闭回路。
以最小值200为调整量，即令空圈中的值为200，让回路中偶点都加上200，奇点都减去200，这样就形成了一个新的回路，如图5-5所示。
将上述数值代回表5-10中，最后的结果如表5-12所示。
表5-12
B1 B2 B3 B4 生产量
A1 6 3
2
5
500
A2 7 5 8 4
200
A3 3
2
9 7 300
需要量 200 3000 100 400 1000
经验证，Ui+Vj全部小于所对应的运价，得出最优解。最佳方案为A1向B2运200吨，向B3运100吨，向B4运200吨；A2向B4运200吨；A3向Bl运200吨，向B2运100吨。总运费为3400（元）。
【案例】.某公司有三个仓库A1、A2、A3，共同存储某类物资，库存分别为15吨、18吨、17吨，一起向B1、B2、B3三个地方供货，其需求量分别为18吨、12吨、16吨。各个仓库与销售地点的距离（公里）如表5-13所示。问应该如何调运这些物资，使得在满足需要的前提下，总运输距离最小
表5-13
B1 B2 B3
A1 5 9 2
A2 3 1 7
A3 6 2 8
首先判断是否平衡。由于库存大于需求，因而这是一个产大于销的非平衡运输问题。可以在表中虚设一个销售地B4，其销量为产销之差，这样就可以将不平衡问题转化为平衡问题。列出产销平衡表，如表5-14所示。
表5-14
B1 B2 B3 B4 生产量
A1 5 9 2 0 15
A2 3 1 7 0 18
A3 6 2 8 0 17
需要量 18 12 16 4 50
以后的计算与【案例】相同，最后的结果是A1向B3运送；A2向B1运送；A3向B2运送，总运输距离为116公里。
5.6.3.起讫点重合的问题
自有车辆运输时，车辆往往要回到起点。比较常见的情况是，车辆从一座仓库出发到不同的零售点送货并回到仓库，这一问题实际是出发地和目的地不同的问题的延伸，但相对而言更为复杂一些。它的目标是找到一个可以走遍所有地点的最佳顺序使得总运输时间最少或距离最短。这一类问题没有固定的解题思路，在实践中通常是根据实际情况的不同，结合经验寻找适用的方法。
在实际的运输中，-些具体的限制使得问题变得更为复杂，比如：
（1）每一地点既有货物要送又有货物要取。
（2）有多辆运输工具可以使用，每一运输工具都有自己的容量和承载量限制。
（3）部分或全部地点的开放时间都限制。
（4）因车辆容量的限制或其他因素，要求先送货再取货。
（5）司机的就餐和休息时间也在考虑的范围内。
有了这些限制，运输路线计划和进度计划问题很难找到最佳方案。实际操作中，通常是求助于简单易行的方法以得到问题的可行方案。
例如，某公司要从分布广泛的地点收集商品，并将其汇集到一个中央仓库。每一地点每天都有一定量的商品需要提取，如图5-6所示。
每一辆卡车的载重量为10000kg，且每天只运输一趟。要决策的问题是：该公司需要多少辆卡车？卡车收取商品的顺序如何？
这一问题的一个简单的近似解法是：
（1）把所有的停靠点以及仓库的位量标识出来；
（2）从仓库处沿某一方向划一条直线，转动这条直线，直到它穿过一个停靠点，若总量没有超过卡车的载重量，则继续转动到它穿过下一个停靠点，若总量超过车辆的载重量，停止转动，前面的那些总量仍在载重量以下的停靠点可以划为一个区（依此步骤，可将本例中这些停靠点划为3个区）；
（3）在每一个区内，再进行最短路线计划来选择运输的顺序。
所以，需要三辆卡车。
5.7.运输价格的确定
所谓运输价格，是指物流企业对特定货物所提供的运输劳务的价格。运输价格能在一定程度内有效地调节各种运输方式的运输需求，即在总体运输能力基本不变的情况下，运输需求会因运输价格的变动而改变。但货物运输需求在性质上属于“派生需求”，运输总需求的大小主要还是取决于社会经济活动的总体水平，运输价格的高低对其产生影响极其有限。当然，有时运输价格的变动对某一运输方式的需求调节也会较明显。
运输价格是物流企业借以计算和取得运输收入的根本依据。因此，运输价格的高低，直接关系到物流企业的收入水平。另一方面，货物运输价格又是物流总成本中的有机组成部分，它的高低也会影响企业的生产经营决策。
5.7.1.运输价格的特点
1．运输价格是一种劳务价格
运输价格是运输劳务产品价格，只有销售价格这一种表现形式。同时，由于运输产品的不可储存性，因此当运输需求发生变化时，只能靠调整运输能力来达到运输供求的平衡。而在现实中运输能力的调整一般具有滞后性，故运输价格因供求关系而产生波动的程度往往较一般有形商品要来得大。
2．货物运输价格是商品销售价格的组成部分
在外贸进、出口货物中，班轮货物的运价占商品价格的比率为1.1%～28.4%，大宗而价廉货物其比率可达30%～50%。由此可见，货物运价的高低，会直接影响商品的销售价乃至实际成交与否。
3．运输价格具有按不同运输距离或不同航线而别的特点
距离运价是我国沿海、内河、铁路、公路运输中普遍采用的一种运价形式。而航线运价则广泛地使用于远洋运输和航空运输中。
4．运输价格具有比较复杂的比价关系
因不同运输方式或运输工具会使所运货物的时间、速度等因素上有差别，而这些差别均会影响到运输成本和供求关系，在价格上必然会有相应的反映。
5.7.2.运输价格的分类
运输价格可按不同运输对象、不同运输方式以及多种运输方式的联合等划分为若干种类。
1．按其适用范围、管理方式、货物种类及其批量大小等进行不同的划分
（1）按货物运输价格的适用范围划分。
具体可分为国内货物运输价格和国际货物运输价格两类。各种不同运输方式对此又有不同的规定。以水路货物运输价格为例，国内货物运价又区分为交通部直属航运企业适用的货物运价和地方水运企业所适用的货物运价；国际货物运价按其适用范围主要有两种：班轮公司运价和双边运价。前者适用于所属班轮公司船舶的货运价格，如中国远洋（集团）公司制定的运价表、中波轮船股份有限公司制定的运价表；后者为货方向船方协商制定的货运价格，如《中国对外贸易运输公司第三号运价表》是中国外运公司代表货方同船方商定的，凡经外运公司承办的我国进出口货物，除少数外国班轮公司运输的货物外，均可适用。
（2）按对货物运输价格的管理方式划分。
具体可分为国家定价、国家指导价和市场调节价等几种。目前我国对国有铁路货物运输、水路、公路运输中的救灾等货物、航空运输中的公布货物运输等均实行国家定价；交通部直属航运企业的计划内货物实行国家指导价；其他均实行市场调节价。
